[論文レビュー] From manifolds to invariants of E_n-algebras

Ricardo Andrade|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、$G$-構造を持つ多様体への$G$-増強埋め込み空間を用いて、トポロジカル・ホッホルト・ホモロジーを一般化することで、$E_n$-代数の新しい不変量のクラスを導入する。PROPs $\mathsf{E}^G_n$ を構成し、導来コエンด不変量 $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$ を定義する。$G=1$ かつ $M=S^1$ のとき THH を回復し、非可換 Poincaré双対性の図式的かつホモトピー的枠組みを確立する。

ABSTRACT

This thesis represents the first step in an investigation of an interesting class of manifold-theoretic invariants of $E_n$-algebras which generalize topological Hochschild homology. The main goal of this thesis is to give a definition of the invariants, and analyse their geometric framework. These invariants have appeared in the work of Paolo Salvatore and Jacob Lurie (who calls them topological chiral homology), where they are involved in a sort of non-abelian Poincaré duality.

研究の動機と目的

• 回転および接空間の対称性を尊重する、$E_n$-代数の自然な図式的ホモトピー的一般化であるトポロジカル・ホッホルト・ホモロジーを定義すること。
• 標準的な循環的バーチャル複体による THH の構成における自然性の欠如、特に $S^1$-作用の完全な記述を欠いていることへの対処。
• 多様体上のスティッキー構成のホモトピー型のコロイドにより、$E_n$-代数の不変量を構成すること。
• 多様体の埋め込み空間と $E_n$-オペラッドの幾何的・代数的構造を、$G$-増強埋め込みとPROPs $\mathsf{E}^G_n$ を通じて統一すること。
• Lurie や Salvatore が考察した非可換 Poincaré双対性と整合する枠組みを確立すること。

提案手法

• トポロジカル・ホッホルト・ホモロジーで用いられる循環的カテゴリ $\mathcal{E}$ を一般化し、空間 $X$ 上のスティッキー構成のカテゴリ $\mathbb{M}(X)$ を導入する。
• 接空間の $G$-構造を符号化するように変更された標準的埋め込み空間として、$G$-増強埋め込み空間を定義する。
• これらの $G$-増強埋め込み空間から、小さな $n$-ドメインのPROPを一般化するPROPs $\mathsf{E}^G_n$ を構成する。
• 各 $n$-次元多様体 $M$ に $G$-構造を備えた場合、$G$-増強埋め込みの空間を用いて右 $\mathsf{E}^G_n$-加群 $\mathsf{E}^G_n[M]$ を割り当てる。
• $\mathbb{M}(M)$ と $\mathsf{E}^G_n[M]$ のグローテンディーク構成の間の弱同値のズイーザックを確立し、構成カテゴリと加群構造を結びつける。
• $E_n$-代数 $A$ に対して、導来コエンド $\mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$ として不変量 $\mathbf{T}^G(A;M)$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円の完全な対称性を尊重する、図式的かつホモトピー的枠組みを用いた、$E_n$-代数のトポロジカル・ホッホルト・ホモロジーの自然な一般化は可能か？
• RQ2 多様体への埋め込みの幾何的データ、特に接空間の構造を、$E_n$-代数の代数的不変量にどのように符号化できるか？
• RQ3 $G$-構造を持つ多様体に対して、小さなドメインの構成を一般化する、PROPs $\mathsf{E}^G_n$ 上の右加群を一意的に関連付ける方法は存在するか？
• RQ4 多様体 $M$ 上のスティッキー構成のカテゴリ $\mathbb{M}(M)$ は、埋め込み加群 $\mathsf{E}^G_n[M]$ のグローテンディーク構成と同一視可能か？
• RQ5 導来コエンド構成 $\mathbf{T}^G(A;M)$ は、THH などの既知の不変量を回復し、非可換 Poincaré双対性の普遍的枠組みを提供するか？

主な発見

• $G=1$ かつ $M=S^1$ のとき、不変量 $\mathbf{T}^1(A;S^1)$ は、結合的環スペクトル $A$ のトポロジカル・ホッホルト・ホモロジーと同値であり、より自然で対称的な方法で標準的構成を回復する。
• $\mathbb{M}(S^1)$ はエルメンドルフのカテゴリ $\mathcal{E}$ に弱同値であり、THH は $\mathcal{E}$ 上のホモトピー型のコロイドとして実現され、図式的解釈が得られる。
• 任意の $n$-次元多様体 $M$ に $G$-構造を備えた場合、右 $\mathsf{E}^G_n$-加群 $\mathsf{E}^G_n[M]$ は $G$-増強埋め込み空間から構成され、小さな $n$-ドメインの構成を一般化する。
• $\mathbb{M}(M)$ と $\mathsf{E}^G_n[M]$ のグローテンディーク構成の間には、弱同値のズイーザックが存在し、構成カテゴリと加群構造の深い関係を確立する。
• 導来コエンド $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$ は、$E_n$-代数の適切に定義された不変量を定義し、THH を一般化し、非可換 Poincaré双対性と整合する。