[論文レビュー] From open quantum walks to unitary quantum walks

Chaobin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スツェゲディの量子化フレームワークを拡張することで、格子および有限グラフ上のオープン量子ウォーク（OQW）をユニタリ量子ウォークに変換する手法を提案する。本手法は確率分布および平均確率分布を定義し、漸近的収束を証明する。OQWの遷移演算子が確率的かつユニタリである場合、この構成はスツェゲディの量子ウォークを特別なケースとして回復し、統一的な量子ウォーク形式を確立する。

ABSTRACT

We present an idea to convert to a unitary quantum walk any open quantum walk which is defined on lattices as well as on finite graphs. This approach generalizes to the domain of open quantum walks (or quantum Markov chains) the framework introduced by Szegedy for quantizing Markov chains. For the unitary quantum walks formulated in this article, we define the probability and the mean probability of finding the walk at a node, then derive the asymptotic mean probability.

研究の動機と目的

• マコフ連鎖のスツェゲディの量子化を、古典的ランダムウォークの量子拡張たるオープン量子ウォーク（OQW）に一般化すること。
• 格子および有限グラフ上のOQWのダイナミクスを保持するユニタリ量子ウォークの枠組みを定義すること。
• 新しいユニタリウォークモデルにおける walker がノードに存在する確率および平均確率を導入・分析すること。
• 平均確率分布の漸近的収束を証明し、初期状態およびグラフの接続性に依存することを示すこと。
• 提案された構成の特別なケースとして、スツェゲディの量子ウォークフレームワークが回復可能であることを示すこと。

提案手法

• OQWのダイナミクスを埋め込むために、拡張されたヒルバート空間 $ \mathfrak{B}(\mathcal{H}_C) \otimes \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ を定義する。
• 各頂点 $ j \in V $ に対して、正規化された状態 $ |\psi_j\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_k \sqrt{B_j^k \dagger B_j^k} \otimes |j\rangle \otimes |k\rangle $ を構築する。
• これらの状態の張る空間への射影演算子 $ \Pi = \sum_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $ を定義する。
• 位置レジスタ上で作用するスワップ演算子 $ S = \sum_{j,k} |j,k\rangle\langle k,j| $ を導入する。
• スツェゲディの構成に類似したユニタリウォーク演算子 $ U = S(2\Pi - I) $ を構成する。
• ユニタリ時間発展演算 $ \rho_t = U^t \rho_0 $ を用いて時間発展状態を定義し、ノード確率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子および有限グラフ上のオープン量子ウォークを、体系的にユニタリ量子ウォークに変換できるか？
• RQ2 得られたユニタリ量子ウォークにおける平均確率分布の漸近的挙動は何か？
• RQ3 漸近的分布は初期状態およびグラフの接続性にどのように依存するか？
• RQ4 提案されたOQWのユニタリ量子化の特別なケースとして、スツェゲディの量子ウォークフレームワークを回復できるか？
• RQ5 コイン空間および遷移演算子は、ユニタリ時間発展演算を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 定理1により、ユニタリ量子ウォークの漸近的平均確率分布が収束することが証明された。
• 非連結グラフでは、漸近的平均確率は $ \overline{P}_\infty(1|\alpha_0) = \overline{P}_\infty(2|\alpha_0) = \frac{1}{2} $ となり、初期状態に依存することが示された。
• 連結グラフでは、漸近的分布が一意である可能性があり、接続性と収束性の性質との間の関係が示唆された。
• 提案されたユニタリウォークの構成は、スツェゲディの量子化を一般化しており、$ B_j^k = \sqrt{p_{kj}} U_j^k $ かつ $ U_j^k $ がユニタリである場合に彼のウォークが回復される。
• 拡張された空間内の部分空間への $ \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ の等長的同型写像により、スツェゲディのモデルと整合性が保証された。
• 本フレームワークは、OQW、量子ウォーク、ユニタリ量子ウォークを、統一的な量子化スキームの下で統合した。