[論文レビュー] From PT-symmetric quantum mechanics to conformal field theory

Patrick Dorey, Clare Dunning+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2009

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 68被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、純虚数の結合定数をもつ非ユニタリな可解な量子場理論であるスケーリングYang-Lee模型を通じて、PT対称量子力学と共形場理論の関係を探る。この模型は、元来イジング模型のYang-Lee端末特異性から導かれたものであり、ODE/IM対応のような高度な技術のテストベッドとして機能し、分岐ポリマー や量子スピンチェーンといった強縮物質系への橋渡しも果たす。

ABSTRACT

One of the simplest examples of a PT-symmetric quantum system is the scaling Yang-Lee model, a quantum field theory with cubic interaction and purely imaginary coupling. We give a historical review of some facts about this model in d <= 2 dimensions, from its original definition in connection with phase transitions in the Ising model and its relevance to polymer physics, to the role it has played in studies of integrable quantum field theory and of PT-symmetric quantum mechanics. We also discuss some more general results on PT-symmetric quantum mechanics and the ODE/IM correspondence, and mention applications to magnetic systems and cold atom physics.

研究の動機と目的

• スケーリングYang-Lee模型がPT対称量子力学における基礎的例として果たす役割を確立すること。
• Yang-Lee模型の非ユニタリで可解な量子場理論が、負の中心電荷を持つ共形場理論とどのように結びつくかを明らかにすること。
• ODE/IM対応が、複素量子力学におけるスペクトル問題と、量子場理論における相関関数をどのように結びつけるかを示すこと。
• 分岐ポリマー や量子スピンチェーンを含む強縮物質物理学への応用を強調すること。
• 非ユニタリでPT対称なモデルの物理的整合性と解釈に関する未解決の問題に言及すること。

提案手法

• 2次元におけるスケーリングYang-Lee模型を、中心電荷が負の非ユニタリな共形場理論 $\mathcal{M}_{2,5}$ の摂動として、純虚数の結合定数をもつ複素スカラー場によって解析する。
• 熱力学的ベーテアンザッツ（TBA）、截断された共形状態空間近似（TCSA）、および形式因子アプローチといった正確な手法を用い、非摂動的現象を研究する。
• ODE/IM対応を用いて、PT対称シュレーディンガー作用素のスペクトル行列式と、量子イジングスピンチェーンにおける磁化モーメントの生成関数を関連付ける。
• ODE/IM対応を用いて、冷たい原子干渉実験における全分布関数と、複素ポテンシャルのスペクトル行列式との間のマッピングを確立する。
• ハダマール因数分解定理を用いて、生成関数 $\chi(\lambda)$ をPT対称ハミルトニアンの固有値の無限積として表現する。
• ファドデエフ＝ポポフ法を用いて、$D = d+2$ 次元における非交差分岐ポリマーの場の理論に隠れた超対称性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元以下のスケーリングYang-Lee模型は、非ユニタリで可解な量子場理論のプロトタイプとしてどのように機能するか？
• RQ2 PT対称シュレーディンガー作用素のスペクトル的性質と、量子スピンチェーンにおける相関関数との正確な関係は何か？
• RQ3 ODE/IM対応は、複素ポテンシャルのスペクトル行列式を、量子場理論における物理的観測量とどのように結びつけるか？
• RQ4 イジング模型におけるYang-Lee端末特異性は、実固有値をもつ非エルミート量子力学的問題へどのように導くか？
• RQ5 $\mathcal{M}_{2,5}$ 共形場理論における負の中心電荷が、非ユニタリモデルの物理的整合性に与える影響は何か？

主な発見

• 2次元におけるスケーリングYang-Lee模型は、中心電荷が負の $\mathcal{M}_{2,5}$ CFTへの摂動として、純虚数の結合定数をもつ可解で非ユニタリな量子場理論である。
• 臨界量子イジングスピンチェーンにおける磁化分布は、$H = p^2 - (ix)^{14} - \frac{1}{4x^2}$ のPT対称ハミルトニアンのスペクトル行列式にマッピングされ、$\chi(\lambda) \propto T(E)$ かつ $\lambda^2 \propto E$ が成り立つ。
• 磁化モーメントの生成関数 $\chi(\lambda)$ は整関数であり、$\chi(\lambda) = \prod_{n=0}^{\infty} \left(1 - \frac{\lambda^2}{E_n}\right)$ として因数分解可能であり、ハダマール因数分解によりスペクトルの実数性が裏付けられる。
• ODE/IM対応により、冷たい原子干渉実験における全分布関数が、複素ポテンシャルのスペクトル行列式にマッピングされ、普遍的振幅比の正確な計算が可能になる。
• $D = d+2$ 次元における非交差分岐ポリマーの理論は、複素スカラー作用素をもつ$D$次元の場の理論と等価であり、ファドデエフ＝ポポフ法により隠れた超対称性が明らかになる。
• 非ユニタリ性にもかかわらず、Yang-Lee模型は強縮物質物理学において物理的に有意であり、分岐ポリマーの臨界定常的挙動を記述し、統計系におけるPT対称量子力学の実現を提供する。