[論文レビュー] From the DeDonder-Weyl Hamiltonian formalism to quantization of Gravity

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Oct 22, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、De Donder-Weyl (DW) ハミルトニアン形式を用いて重力および場の理論の明示的共変な量子化枠組みを提案し、複素数の代わりに時空クリフォード代数を用いることでハイパーコンPLEXな量子理論を導出する。共変なハイパーコンPLEXなシュレーディンガー方程式を定式化し、一般相対性理論への応用を概説することで、時間に依存しない幾何学的統一的かつ、従来の時間の問題を回避する量子重力のアプローチを提供する。

ABSTRACT

An approach to quantization of fields and gravity based on the De Donder-Weyl covariant Hamiltonian formalism is outlined. It leads to a hypercomplex extension of quantum mechanics in which the algebra of complex numbers is replaced by the space-time Clifford algebra and all space-time variables enter on equal footing. A covariant hypercomplex analogue of the Schrödinger equation is formulated. Elements of quantization of General Relativity within the present framework are sketched.

研究の動機と目的

• 量子重力における「時間の問題」を解消するため、ハミルトニアン形式で時間座標を特別視する必要を回避すること。
• De Donder-Weyl (DW) ハミルトニアン形式を用いて、場理論および重力の明示的共変な量子化スキームを構築すること。
• 複素数を時空クリフォード代数の要素に置き換えることで、量子力学を一般化し、ハイパーコンPLEXな量子理論を導出すること。
• 相対論的場理論および重力に適用可能な共変なハイパーコンPLEXなシュレーディンガー方程式の類似形を定式化すること。
• 曲がった時空における普遍的な波動関数形式としてのディラック＝カーラー方程式の有効性を検討し、スピンタプル構造の制限を回避すること。

提案手法

• De Donder-Weyl ハミルトニアン形式を用い、多モーメンタ $ p_a^\mu = \partial L / \partial(\partial_\mu y^a) $ および DW ハミルトニアン $ H = \partial_\mu y^a p_a^\mu - L $ を定義することで、共変な場の運動方程式を導出する。
• 微分形式（0-形式および (n-1)-形式）上でのポアソン括弧を適用し、正準共役変数を同定するとともに、正準交換関係を共変な設定に一般化する。
• 複素数を時空クリフォード代数の要素に置き換えることでハイパーコンPLEXな量子理論を構築し、共変なハイパーコンPLEXなシュレーディンガー方程式を導出する。
• ディラック＝カーラー作用素 $ \hat{\not{D}}_\Gamma = d_\Gamma - \delta_\Gamma $ を用いて、曲がった時空における一般化されたシュレーディンガー方程式を導出する。波動関数は非同次微分形式として表現される。
• テトラッドを用いず、計量に基づく量子化を可能にするために、演算子をアティヤ＝カーラー代数の要素（例：$ \partial_\mu \hskip 2.0pt\text{\textasciibreve{}} $ および $ dx^\mu \wedge $）で表現する。
• 重力のための一般化されたシュレーディンガー方程式を提唱：$ i\hbar\kappa\sqrt{|g|}\,\widehat{\not{D}}_\Gamma \Psi = \widehat{H}\Psi $、ここで $ \Psi $ はクリフォード代数値の非同次形式である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変数を特別視することなく、重力の明示的共変な量子化スキームを構築することは可能か？
• RQ2 複素数に基づく標準的なシュレーディンガー方程式を、時空共変的かつハイパーコンPLEXな形に一般化するには、クリフォード代数をどのように用いるか？
• RQ3 ディラック＝カーラー方程式は、スピン構造に依存しない曲がった時空における普遍的な波動関数形式として有効であるか？
• RQ4 ハイパーコンPLEXなシュレーディンガー方程式は、スカラー場、スピノル場、ベクトル場など、さまざまなスピンを持つ場を扱えるか？
• RQ5 量子化された DW 形式における演算子の順序の不確かさは、共変性および対応原理との整合性を保ちつつどのように解消できるか？

主な発見

• De Donder-Weyl 形式により、時空を空間的超曲面に分割する必要のない、明示的共変な場理論のハミルトニアン形式が可能になる。
• 0-形式および (n-1)-形式の微分形式上にポアソン括弧構造を確立し、正準交換関係を共変な設定に一般化する。
• ハイパーコンPLEXなシュレーディンガー方程式 $ i\hbar \kappa \sqrt{|g|} \widehat{\not{D}}_\Gamma \Psi = \widehat{H} \Psi $ が、$ \Psi $ がアティヤ＝カーラー代数内の非同次微分形式であると仮定して、量子重力の候補として提唱される。
• 本フレームワークにより、テトラッド形式を必要とせず、時空計量およびその接続のみを用いて計量重力を直接的に量子化できる。
• ディラック＝カーラー方程式は、スピン構造を要する多様体に制限されないため、曲がった時空におけるディラック方程式のより基本的な代替形式であると提唱される。
• 波動関数 $ \Psi $ がクリフォード代数値の形式として解釈される場合、さまざまなスピンを持つ場の記述を統合できる可能性があるが、その確率論的解釈は未解決の問題のままである。