[論文レビュー] From the Deligne-Ihara conjecture to Multiple Modular Values

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、三回穿孔された直線の基本群におけるガロア作用に関するDeligne-Ihara予想と、多重モジュラー値（MMV）の理論との間に深い接点を確立し、モチビックガロア理論における拡張として、モジュラー形式やエーゼンスタイン級数の周期が現れる仕組みを明らかにする。多重ゼータ値がMMVに現れる理由を説明する転送関係を導入し、それらをより広範な多重L値の枠組みに統合する。

ABSTRACT

This is the write-up of a talk given in honour of Prof. Ihara's 80th Birthday conference in Kyoto in 2018. After briefly reviewing the work of Ihara on the projective line minus 3 points, I outline the main ideas in the proof of the Deligne-Ihara conjecture and provide an update on recent progress in this area and raise some new questions. The second part of the talk outlines the main features of the corresponding theory in genus one, i.e., on the moduli stack of elliptic curves. It contains many concrete and elementary examples to illustrate the main features of the theory and to make it more widely accessible. In particular, the case of non-abelian cocycles associated to a pair of modular forms of level one is discussed in some detail. It also contains some new conjectures which have not previously appeared in print.

研究の動機と目的

• 種数0におけるDeligne-Ihara予想の意味を検討し、それと多重ゼータ値との関係を明らかにすること。
• 特にモジュラー形式とエーゼンスタイン級数を含む、種数1における多重モジュラー値の理論の初期的構築。
• 二重エーゼンスタイン積分に多重ゼータ値が予期せず現れる理由を、転送関係によって説明すること。
• 多重ゼータ値と多重モジュラー値を、より広範な多重L値の枠組みに統合すること。
• MMVの構造とモジュラー形式、周期との関係を示す数値例の提示。

提案手法

• 整数環上の混合テートモチーフの圏におけるモチビック基本群族を用いて、Deligne-Ihara予想のモチビック一般化を定式化する。
• 古典的実現（ベッチ、de Rham、ℓ-adic）を適用し、モチビック構造と周期、ガロア作用との関係を明示する。
• エーゼンスタイン級数と尖点形式の間の多重モジュラー値の間の転送関係を導入し、ある形式の周期が他にどのように転送されるかを説明する。
• ランキン＝セルバーグ法とベイリンソンの予想を用いて、モジュラー形式とそのL値を含むモチーフの拡張を分析する。
• 非臨界および半臨界L値の概念を用いて、テートモチーフの拡張における周期を分類する。
• 例8.5における明示的な代数的恒等式（例：有理数係数と既知のゼータ値を用いた）を導出し、異なる多重モジュラー値の間の関係を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数 𝔤ˡ における近似関係、たとえば δˡ₁₂ を含む重み12の関係 [σ³ˡ, σ⁹ˡ] − 3[σ⁵ˡ, σ⁷ˡ] は、モジュラー形式や尖点形式とどのように関係するか。
• RQ2 多重ゼータ値はどの程度二重エーゼンスタイン積分に現れるのか。その出現の背後にある理由は何か。
• RQ3 転送関係は、エーゼンスタイン級数の多重モジュラー値に現れる多重ゼータ値の出現を完全に説明できるか。
• RQ4 モチビックガロア群は、多重ゼータ値と多重モジュラー値を統一する役割を果たすのか。
• RQ5 重み12における尖点形式 Δ の周期は、多重モジュラー値とどのように関係するか。また、ランキン＝セルバーグ法を用いずにこれを説明できるか。

主な発見

• 重み12の関係 [σ³ˡ, σ⁹ˡ] − 3[σ⁵ˡ, σ⁷ˡ] = (691/144)δ¹²ˡ は、深さフィルトレーションにおける δ¹²ˡ の消滅ゆえにほぼ関係であり、最初の非ゼロ尖点形式 Δ（重み12）と関係している。
• 予想2は、多重モジュラー値の線形結合における係数 c⁺_{G₄,G₁₀;Δ} が ζ₃,₇/π¹⁰ の有理数倍に等しいと予測しており、MMVと多重ゼータ値を結びつける。
• 明示的恒等式 (8.3) は、Λ(Δ, G₄;11,1)、Λ(Δ, G₄;10,2)、Λ(Δ, G₄;6,2) の組み合わせが、Λ(Δ;3)、Λ(G₄,G₁₀;2,5)、Λ(G₄,G₁₀;3,5) の積の有理数係数結合に等しいことを示しており、転送の例である。
• Λ(G₄,G₁₀;3,1) に現れる ζ₃,₇ は、Λ(G₄,G₈;1,1) から転送されたものであり、これは多重ゼータ値であると予想されている。
• 長さ2の多重モジュラー値は、テートモチーフの拡張の周期を生じさせ、三つのエーゼンスタイン級数、一つの尖点形式と二つのエーゼンスタイン級数、二つの尖点形式と一つのエーゼンスタイン級数、または三つの尖点形式を含む状況によって分類される。
• 三重ランキン＝セルバーグ拡張に関連する周期 c_{f,g;h} は、中心的臨界L値に対応し、三つの非標準的周期を含む。これは、例外的重み1の場合におけるベイリンソンの予想と整合的である。