[論文レビュー] Multiple Modular Values and the relative completion of the fundamental group of $M_{1,1}$

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2014

Advanced Mathematical Identities参考文献 24被引用数 66

ひとこと要約

本稿は、モジュラー形式のモチーフの反復拡張を、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{1,1}$ の基本群の相対的完成を用いて構成し、多重モジュラー値と楕円曲線の幾何学的性質の間の関係を確立する。また、モチーフ的多重リーマンゼータ値から反復エイゼンスタイン積分の空間への写像の核が、尖点形式に結びついた関係によって生成されることを証明し、多重ゼータ値における尖点欠損の幾何的解釈を提供する。

ABSTRACT

Multiple modular values are a common generalisation of multiple zeta values and periods of modular forms, and are periods of a hypothetical Tannakian category of mixed modular motives. They are given by regularised iterated integrals on the upper half plane generalising the iterated Shimura integrals of Manin. In this paper, some first properties of the underlying theory are established in the case of the full modular group: in particular, the relationship with special values of L-functions of modular forms at all positive integers; and the action of the conjectural motivic Galois group via a certain group of automorphisms.

研究の動機と目的

• $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対するモジュラー形式に付随するモチーフの反復拡張を、$\mathcal{M}_{1,1}$ の基本群の相対的完成を用いて構成すること。
• ミックスホッジ構造のティアナカンカテゴリにおける、$\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ の相対的完成を、プロ代数的群としての構造を理解すること。
• 動的制約とモノドロミーを介して、モチーフ的多重ゼータ値を反復エイゼンスタイン積分および尖点形式に結びつけること。
• 反復エイゼンスタイン積分空間における尖点形式への直交性を通じて、多重ゼータ値における尖点欠損を幾何的に説明すること。

提案手法

• ベッチおよびド・ラーム実現を備えたミックスホッジ構造のティアナカンカテゴリ $\mathcal{H}$ における、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の相対的完成 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ を、プロ代数的群として用いる。
• $\mathcal{H}$ におけるティアナカン双対性を適用し、$\mathcal{G}^{\omega}_{\mathcal{H}}$ が $\mathcal{G}^{\omega}_{1,1}$ に自動同型 $\mathbb{A}^{\omega}$ を介して作用することを定義し、尖点におけるインertieおよびモノドロミーと整合性を持つようにする。
• 開かれた部分 $\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}$ の階数付きリー代数を解析し、それがゼータ要素 $\sigma_{2n+1}$ によって生成される双次数付きリー代数に一致することを特定する。
• $\mathfrak{d}^1$ と $\mathfrak{d}^2$ を結ぶ完全列を確立し、$\mathfrak{d}^2$ への写像の核が、尖点形式の周期多項式と同型であることを示し、例えば重さ12における $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$ のように表される。
• 分解定理を用いて、エイゼンスタイン級数の反復積分の空間を、$\sigma_{2n+1}$ の双対空間上のテンソルコールドレースに埋め込む。重さ12における $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ の像が、$3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$ で張られる一様次元部分空間であることを示す。
• 正則化された多重楕円ポリログラムおよび反復エイゼンスタイン積分の値が、尖点形式に対して直交することを示し、これにより多重ゼータ値における尖点欠損の幾何的説明が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathcal{M}_{1,1}$ の基本群の相対的完成は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ に対して期待されるすべてのモチーフの拡張を生成できるか？
• RQ2 モチーフ的多重ゼータ値は、反復エイゼンスタイン積分および尖点形式とどのように関係しているか？
• RQ3 多重ゼータ値における尖点欠損の幾何的起源は何か？
• RQ4 $\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ のリー代数における $\sigma_f(d)$ 要素の関係は、どのように尖点形式に対応するか？
• RQ5 極限ミックスホッジ構造は、$\mathcal{G}^{\mathcal{H}}_{1,1}$ の構造をどのように符号化しているか？

主な発見

• モチーフ的多重ゼータ値から反復エイゼンスタイン積分の空間への写像の核は、$\overline{\mathbb{Q}}$ 上で、重さ $2n+2$ の正規化されたヘッケ尖点形式 $f$ に対する関係 $\sigma_f(d)\mathbf{e}_f$ によって生成される。
• 重さ12において、周期多項式 $X^8Y^2 - 3X^6Y^4 + 3X^4Y^6 - X^2Y^8$ は、$\mathfrak{d}^2$ 内で $[\mathrm{gr}_D^1\sigma_3, \mathrm{gr}_D^1\sigma_9] - 3[\mathrm{gr}_D^1\sigma_5, \mathrm{gr}_D^1\sigma_7] = 0$ として表されるイハラ＝タカオ関係に対応する。
• 重さ12における $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ の像（積の類に関して）は、尖点形式の双対空間内に $3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7$ で張られる一様次元部分空間である。
• $\zeta^{\mathfrak{m}}(3,9)$ や $\zeta^{\mathfrak{m}}(4,8)$ のような二重モチーフ的ゼータ値は、それぞれ $-9(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$ および $16(3f_3 \wedge f_9 + f_5 \wedge f_7)$ に写像され、尖点形式への直交性が確認される。
• 線形結合 $9[\mathbf{e}_4\mathsf{Y}^2, \mathbf{e}_{10}\mathsf{Y}^8] + 14[\mathbf{e}_6\mathsf{Y}^4, \mathbf{e}_8\mathsf{Y}^6]$ は $\mathrm{gr}^L_2\mathcal{O}(\mathfrak{u}^{\mathrm{geom}}_+)$ の像に属し、すべての尖点形式に対して直交する。これは、尖点欠損における $L$-関数のキャンセルの原因を説明する。
• 正則化された多重楕円ポリログラムから生じるエイゼンスタイン級数の反復積分は、尖点形式に対して直交する。これにより、多重ゼータ値における尖点欠損の幾何的説明が得られる。