[論文レビュー] From the Poincaré-Cartan form to a Gerstenhaber algebra of Poisson brackets in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Nov 6, 1995

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、デ・ドンデル＝ヴァイラーの共変ハミルトニアン枠組みを用いて、古典的力学のポアソン括弧形式を場の理論へ一般化する。ポアンカレ＝カルタン形式から出発し、微分形式上の (n+1) 次の多シンプレクティック形式を構成する。これにより、動的変数の外積代数に高次ゲルステンハーバー代数構造をもたらすポアソン括弧が得られ、共変ハミルトニアン手法による場の理論の量子化の基礎が提供される。

ABSTRACT

We review the recent generalization of the basic structures of classical analytical mechanics to field theory within the framework of the De Donder-Weyl (DW) covariant canonical theory. We start from the Poincaré-Cartan form and construct the analogue of the symplectic form -- the polysymplectic form of degree n+1, where n is the dimension of the space-time. The dynamical variables are represented by differential forms and the polysymplectic form leads to the definition of the Poisson brackets on forms. The Poisson brackets equip the exterior algebra of dynamical variables with a structure of a "higher-order" Gerstenhaber algebra. We also briefly outline a possible approach to field quantization which proceeds from the DW Hamiltonian formalism and the Poisson brackets of forms.

研究の動機と目的

• 共変ハミルトニアンアプローチを用いて、古典的力学のシンプレクティック形式を場の理論へ拡張すること。
• 場の理論における微分形式としての動的変数の上に一般化されたポアソン括弧構造を定義すること。
• ポアンカレ＝カルタン形式から、次元 n（時空次元）に対応する (n+1) 次の多シンプレクティック形式を構成すること。
• 微分形式上のポアソン括弧が、動的変数の外積代数に高次ゲルステンハーバー代数構造をもたらすことを示すこと。
• デ・ドンデル＝ヴァイラー形式と形式のポアソン括弧に基づく共変場の量子化の基礎を構築すること。

提案手法

• デ・ドンデル＝ヴァイラー理論におけるポアンカレ＝カルタン形式から、(n+1) 次の多シンプレクティック形式を導出すること。
• 場の配置空間のジャンブルの上での微分形式として動的変数を表現すること。
• 多シンプレクティック形式の逆を用いて、微分形式間のポアソン括弧を定義すること。
• ポアソン括弧演算が階数付きジャコビ恒等式を満たすことを確立し、ゲルステンハーバー代数構造を導出すること。
• 形式の階数付き交換子を用いて、ゲルステンハーバー代数のリー超代数的性質を実現すること。
• フォック空間表現においてポアソン括弧を交換子に昇格させることで、量子化手順の可能性を概説すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的力学のシンプレクティック構造を、明示的に共変な方法で場の理論へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 動的変数が微分形式である場合、場の理論におけるポアソン括弧の適切な類似物は何であるか？
• RQ3 形式上のポアソン括弧の代数的構造が、ゲルステンハーバー代数の公理を満たすことを示せるか？
• RQ4 次元 n+1 の多シンプレクティック形式が、場的観測量の運動および代数的構造を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ5 デ・ドンデル＝ヴァイラーハミルトニアン形式と形式のポアソン括弧に基づいて、一貫性のある量子化スキームを構築できるか？

主な発見

• 場の理論におけるポアンカレ＝カルタン形式は、時空次元 n に対応する (n+1) 次の多シンプレクティック形式を導く。
• 多シンプレクティック形式の逆を用いて定義されたポアソン括弧は、形式の空間上で閉じている。
• ポアソン括弧演算は階数付きジャコビ恒等式を満たし、動的変数の外積代数にゲルステンハーバー代数構造が存在することが確認された。
• この代数的構造は階数付き交換子と整合しており、高次リー超代数を支持する。
• この枠組みは、形式のポアソン括弧を通じて、共変的かつ幾何学的な場の量子化の基礎を提供する。
• この構成は、明示的に共変な方法で、力学の正準形式を場の理論へ一般化する。