[論文レビュー] From unbalanced optimal transport to the Camassa-Holm equation

Thomas Gallouët, François‐Xavier Vialard|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな多様体の微分同相群に右不変な Hdiv 距離を導入することで、非平衡最適輸送とCamassa-Holm (CH) 方程式の幾何的関係を確立し、CH 方程式の解がこの枠組みにおいて測地線として現れることを示している。半密度の自己同型群に対する極分解定理を証明し、微分同相群を、コーン距離を備えたファイバー束の自己同型群に等長埋め込みすることで、一般化されたCH方程式の新しい測地線的定式化を提供している。

ABSTRACT

The group of diffeomorphisms of a compact manifold endowed with the L^2 metric acting on the space of probability densities gives a unifying framework for the incompressible Euler equation and the theory of optimal mass transport. Recently, several authors have extended optimal transport to the space of positive Radon measures where the Wasserstein-Fisher-Rao distance is a natural extension of the classical L^2-Wasserstein distance. In this paper, we show a similar relation between this unbalanced optimal transport problem and the Hdiv right-invariant metric on the group of diffeomorphisms, which corresponds to the Camassa-Holm (CH) equation in one dimension. On the optimal transport side, we prove a polar factorization theorem on the automorphism group of half-densities. Geometrically, our point of view provides an isometric embedding of the group of diffeomorphisms endowed with this right-invariant metric in the automorphisms group of the fiber bundle of half densities endowed with an L^2 type of cone metric. This leads to a new formulation of the (generalized) CH equation as a geodesic equation on an isotropy subgroup of this automorphisms group; On S1, solutions to the standard CH thus give particular solutions of the incompressible Euler equation on a group of homeomorphisms of R^2 which preserve a radial density that has a singularity at 0. An other application consists in proving that smooth solutions of the Euler-Arnold equation for the Hdiv right-invariant metric are length minimizing geodesics for sufficiently short times.

研究の動機と目的

• Wasserstein-Fisher-Rao 距離を用いて、確率測度から正のRadon測度への最適輸送理論の拡張を図ること。
• 微分同相群に右不変な Hdiv 距離を導入することで、非平衡最適輸送とCamassa-Holm 方程式の幾何的対応関係を確立すること。
• 一般化されたCH方程式を、半密度の自己同型群の安定化部分群上での測地線方程式として新たに定式化すること。
• Hdiv 距離に対するEuler-Arnold方程式の滑らかな解が、十分短い時間では長さ最小の測地線であることを示すこと。

提案手法

• コンパクト多様体の微分同相群に右不変な Hdiv 距離を導入する。
• 半密度のファイバー束にコーン距離を定義し、Hdiv 距離の L^2 型幾何を実現する。
• 自己同型群の半密度に対して極分解定理を証明し、古典的なKantorovich最適輸送結果を非平衡設定に一般化する。
• 微分同相群を半密度バンドルの自己同型群に等長埋め込む。
• 一般化されたCamassa-Holm方程式を、自己同型群の安定化部分群上での測地線方程式として導出する。
• S1 上の標準CH方程式の解が、原点に特異性を持つ径方向密度空間上の非圧縮性Euler方程式の特別な解に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右不変距離を備えた微分同相群を介して、非平衡最適輸送をCamassa-Holm方程式に幾何的に結びつける方法は何か？
• RQ2 半密度は、正のRadon測度への最適輸送の拡張において果たす役割は何か？
• RQ3 Camassa-Holm方程式は、ファイバー束の自己同型群内の測地線方程式として導出可能か？
• RQ4 微分同相群に導入されたHdiv 距離は、非平衡輸送におけるWasserstein-Fisher-Rao 距離とどのように関係するか？
• RQ5 Hdiv 距離に対するEuler-Arnold方程式の滑らかな解は、十分短い時間では長さ最小の測地線か？

主な発見

• 半密度の自己同型群に対して極分解定理が確立され、古典的最適輸送結果が非平衡設定へと拡張された。
• Hdiv 右不変距離を備えた微分同相群は、L^2 型コーン距離を備えた半密度バンドルの自己同型群に等長埋め込み可能である。
• 一般化されたCamassa-Holm方程式は、半密度の自己同型群の安定化部分群上での測地線方程式として定式化された。
• 円周 S1 上では、標準CH方程式の解が、原点に特異性を持つ径方向密度を保存するホメオモルフィズム群上の非圧縮性Euler方程式の特別な解に対応する。
• Hdiv 距離に対するEuler-Arnold方程式の滑らかな解が、十分短い時間では長さ最小の測地線であることが証明された。