[論文レビュー] From weight structures to (orthogonal) $t$-structures and back

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ブラウン表現性を満たす三角的圏上の、打ち砕き重み構造と右隣接 t-構造の間の 1 対 1 対応を確立し、t-構造のハートが重み構造のハートからアーベル群への積を保存する関手からなることを示している。この結果を仮想 t-切断を用いて直交する t-構造へ一般化し、関手の表現性を仮定しないで重み構造から t-構造を構成する新しい方法を提供する。

ABSTRACT

A $t$-structure $t=(C_{t\le 0},C_{t\ge 0})$ on a triangulated category $C$ is right adjacent to a weight structure $w=(C_{w\le 0}, C_{w\ge 0})$ if $C_{t\ge 0}=C_{w\ge 0}$; then $t$ can be uniquely recovered from $w$ and vice versa. We prove that if $C$ satisfies the Brown representability property then $t$ that is adjacent to $w$ exists if and only if $w$ is smashing (i.e., coproducts respect weight decompositions); then the heart $Ht$ is the category of those functors $Hw^{op} o Ab$ that respect products. The dual to this statement is related to results of B. Keller and P. Nicolas. We also prove that an adjacent $t$ exists whenever $w$ is a bounded weight structure on a saturated $R$-linear category $C$ (for a noetherian ring $R$); for $C=D^{perf}(X)$, where the scheme $X$ is regular and proper over $R$, this gives 1-to-1 correspondences between bounded weights structures on $C$ and the classes of those bounded $t$-structures on it such that $Ht$ has either enough projectives or injectives. We generalize this existence statement to construct (under certain assumptions) a $t$-structure $t$ on a triangulated category $C'$ such that $C$ and $C'$ are subcategories of a common triangulated category $D$ and $t$ is right orthogonal to $w$. In particular, if $X$ is proper over $R$ but not necessarily regular then one can take $C=D^{perf}(X)$, $C'=D^b_{coh}(X)$ or $C'=D^-_{coh}(X)$, and $D=D_{qc}(X)$. We also study hearts of orthogonal $t$-structures and their restrictions, and prove some statements on "reconstructing" weight structures from orthogonal $t$-structures. The main tool of this paper are virtual $t$-truncations of (cohomological) functors; these are defined in terms of weight structures and "behave as if they come from $t$-truncations" whether $t$ exists or not.

研究の動機と目的

• 三角的圏上の打ち砕き重み構造と右隣接 t-構造の間の 1 対 1 対応を確立すること。
• 特に t-構造が事前に存在しない場合を含め、仮想 t-切断を用いて重み構造から t-構造を構成する方法を一般化すること。
• 連続的層の導来圏および完全複体の文脈において、重み構造に関する直交する t-構造を研究すること。
• 直交する t-構造から重み構造を再構成し、それらのハートの間の関係を分析すること。
• 飽和 R-線形圏における有界 t-構造と有界重み構造の対応が成り立つ条件を提示すること。

提案手法

• t-構造の存在を仮定せずに、重み構造の言語のみで定義される、コホモロジー的関手の仮想 t-切断の概念を導入する。
• ブラウン表現性を用いて、右隣接 t-構造が存在するための必要十分条件が、重み構造が打ち砕きであることであることを証明する。
• 純粋関手および積を保存する関手の概念を用いて、t-構造のハートが重み構造のハートからアーベル群への積を保存する関手の圏に同型であることを特徴づける。
• 双対性とコアラベリティの仮定を用いて、共通の三角的圏 D の部分圏上に直交する t-構造を構成する。
• カルーブイ包と t-構造のハートを用いた部分圏の生成を用いて、t-構造から重み構造を構築する。
• 大きな三角的圏 D 内の部分圏 C と C' の間の双対性および直交性条件を用いて、直交する t-構造を定義・分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた重み構造に対して、右隣接 t-構造が存在する条件は何か？
• RQ2 代表対象の存在を仮定しないで、重み構造から t-構造をどのように構成できるか？
• RQ3 直交する t-構造のハートと重み構造のハートの間の関係は何か？
• RQ4 飽和 R-線形圏における有界 t-構造が、いつ有界重み構造に対応するか？
• RQ5 直交する t-構造から重み構造を再構成できるか？その条件は何か？

主な発見

• 三角的圏がブラウン表現性を満たす限り、右隣接 t-構造が存在するための必要十分条件は、重み構造が打ち砕きであることである。
• t-構造のハートは、重み構造のハートからアーベル群への積を保存する関手の圏に同型である。
• 有界重み構造を備えた飽和 R-線形圏において、十分な射影的または injective を持つハートをもつ有界 t-構造と有界重み構造の間には 1 対 1 対応が存在する。
• X が Spec R 上で正則かつ固有である場合、完全複体の導来圏 D^perf(X) において、有界重み構造と十分な射影的または injective を持つハートをもつ t-構造の間には 1 対 1 対応が存在する。
• 重み構造が打ち砕きである限り、C = D^perf(X) および C' = D^b_{coh}(X) のとき、D^b_{coh}(X) または D^-_{coh}(X) 上に直交する t-構造を構成できる。
• C の部分圏 ⟨P_t⟩ ⊂ C に、w'' が t に対して厳密に左直交し、Hw'' = P_t を満たす有界重み構造 w'' を、関手のコアラベリティおよび有限型の仮定のもとで構成できる。