[論文レビュー] Fujiki relation on symplectic varieties

Daisuke Matsushita|ArXiv.org|Sep 22, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異点をもつ射影的シンプレクティック多様体に対して、Fujikiのベイルヴィル＝ボゴモロフ形式とカップ積の関係を一般化し、$ H^2(Z,\mathbb{C}) $ 上の一般化された二次形式 $ q_Z $ に対して、Fujiki型の関係 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $ を確立する。主な貢献は、この関係が、このような多様体のファイバー空間構造に強い制約をもたらすことを示したことである。具体的には、任意の正規射影的底空間へのファibrationは、底次元が $ n $、一般ファイバーがアーベル多様体であり、特異点集合が底空間の真の部分集合に写像されることを示している。

ABSTRACT

We generalize Fujiki relation of Beauville-Bogomolov quadratic form on a projective symplectic variety. As an application, we study a fibre space structure of a projective symplectic variety.

研究の動機と目的

• Fujikiのベイルヴィル＝ボゴモロフ形式とカップ積の関係を、特異点をもつシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• この一般化された関係の幾何的意味を、射影的シンプレクティック多様体のファイブレーション構造に応用すること。
• シンプレクティック多様体のファイブレーション $ f: Z \to B $ がアーベル多様体をファイバーとし、底空間次元が $ n $ となる条件を確立すること。

提案手法

• 解体 $ \tilde{Z} \to Z $ におけるシンプレクティック形式およびその共役の引き戻しの積分により、$ H^2(Z,\mathbb{C}) $ 上に一般化された二次形式 $ q_Z $ を定義する。
• 特異点集合の codimension > 4、$ \mathbb{Q} $-因子的特異点、$ h^1(O_Z)=0 $、$ h^2(O_Z)=1 $ の条件下で、$ q_Z $ が Fujiki の関係 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $ を満たすことを証明する。
• 周期写像と変形論を用いて、二次形式 $ q_Z $ が変形に対して不変であり、解体の選び方に依存しないことを示す。
• Z 上の除集合に対するリーマン・ロッホの公式を適用し、$ \chi(D) $ を $ q_Z(D)^k $ の多項式として表現することで、除集合類を分析する。
• Fujiki の関係と数値同値を用いて、ファイブレーション $ f: Z \to B $ における有効除集合の像に制約を導出する。
• 6次元アーベル多様体の有限群作用による商をとることで、$ -K_B $ が必ずしも豊富でない反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点をもつ射影的シンプレクティック多様体における一般化されたベイルヴィル＝ボゴモロフ形式に対して、Fujiki の関係 $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $ が成立するか？
• RQ2 この一般化されたFujiki関係が、このような多様体のファイブレーション構造に及ぼす幾何的影響は何か？
• RQ3 シンプレクティック多様体のファイブレーション $ f: Z \to B $ の底空間次元が $ n $ より小さいことは可能か、それとも正確に $ n $ でなければならないか？
• RQ4 このようなファイブレーションの一般ファイバーがアーベル多様体であるための条件は何か？
• RQ5 ファイブレーション $ f: Z \to B $ がシンプレクティック多様体のものであるとき、$ -K_B $ は必ずしも豊富であるとは限らないか？

主な発見

• 任意の $ \alpha \in H^2(Z,\mathbb{C}) $ に対して、一般化された二次形式 $ q_Z $ は $ C_Z q_Z(\alpha)^n = \alpha^{2n} $ を満たし、$ C_Z $ は $ Z $ のみに依存する定数である。
• $ q_Z $ のインデックスは $ (3, h^2(Z,\mathbb{C}) - 3) $ であり、その符号型が確認された。
• Z 上の任意のカーティエ除集合 $ D $ に対して、オイラー標数 $ \chi(D) $ は、$ q_Z(D)^k $ の $ n $ 次多項式であり、係数は $ Z $ のみに依存する。
• 任意のファイブレーション $ f: Z \to B $ で一般ファイバーが正次元である場合、底空間 $ B $ は次元 $ n $ であり、ピカール数は1である。
• 一般ファイバー $ F $ は $ n $ 次元のアーベル多様体であり、シンプレクティック形式 $ \omega $ は $ F $ に制限して0になる。
• 特異点集合の像 $ f(Z_{\text{sing}}) $ は $ B $ の真の閉部分集合であり、任意の有効除集合 $ D $ に対して、$ \dim f(D) \geq \dim B - 1 $ が成り立つ。