[論文レビュー] Full vertex algebra and bootstrap -- consistency of four point functions in 2d CFT

Yuto Moriwaki|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元共形場理論（CFT）における4点相関関数の整合性を形式化するために、$\eta$-次数付き頂点代数の実解析的一般化である、完全頂点代数と呼ばれる数学的枠組みを導入する。ブートストラップ方程式と共形対称性から完全頂点代数の構造を導出し、ブートストラップ条件が任意の演算子積展開における4点関数の整合性を保証することを証明している。さらに、トーラス的ストリングコンパクト化から、可変パラメータをもつ完全頂点代数の族を明示的に構成している。

ABSTRACT

In physics, it is believed that the consistency of two dimensional conformal field theory follows from the bootstrap equation. In this paper, we introduce the notion of a full vertex algebra by analyzing the bootstrap equation, which is a "real analytic" generalization of a $\mathbb{Z}$-graded vertex algebra. We also give a mathematical formulation of the consistency of four point correlation functions in two dimensional conformal field theory and prove it for a full vertex algebra with additional assumptions on the conformal symmetry. In particular, we show that the bootstrap equation together with the conformal symmetry implies the consistency of four point correlation functions. As an application, a deformable family of full vertex algebras parametrized by the Grassmanian is constructed, which appears in the toroidal compactification of string theory. This give us examples satisfying the above assumptions.

研究の動機と目的

• 2次元共形場理論における4点相関関数の整合性の数学的定式化を確立すること。
• ブートストラップ方程式から直接導かれる、実解析的一般化としての完全頂点代数を定義すること。
• ブートストラップ方程式と共形対称性を組み合わせることで、任意の演算子積展開における4点関数の整合性が保証されることを証明すること。
• トーラス的コンパクト化に由来するグレアマニアンをパrameterとする、可変パラメータをもつ完全頂点代数の族を構成すること。

提案手法

• 4点相関関数を表す実解析的関数の空間 $\mathrm{Cor}_4$ を導入する。
• 二分木と演算子積展開に関連する括弧付き相関関数 $S_A$ を定義し、形式的変数 $x_i = z_i - z_j$ を用いる。
• 木構造に基づく再帰的手法を用いて、各括弧付けに変数と収束領域を割り当て、特定の領域における解析性を保証する。
• モノドロミー不変条件として表現されるブートストラップ方程式が、異なる演算子順序の選択に対しても $S_A$ の整合性を示すことの証明を行う。
• 格子頂点代数からの変形を用いて、グレアマニアンをパrameterとする完全頂点代数の族を構成し、必要な対称性および解析性条件を満たすことを示す。
• 真空挿入を伴う $n \leq 4$ および $n=5$ の場合に、$S_A$ が指定された収束領域内での実解析的関数 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ の展開に一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおける4点相関関数の整合性は、実解析的代数的構造を用いて厳密に定式化・証明可能か？
• RQ2 ブートストラップ方程式と共形対称性を組み合わせることで、4点関数が演算子順序に依存しないことが保証されるか？
• RQ3 完全頂点代数は頂点代数に依存せずに定義可能であり、その公理から自然に正則的および反正則的部分代数が導かれるか？
• RQ4 完全頂点代数の枠組みは、トーラス的コンパクト化に由来するような、可変パラメータをもつCFTの族の構成を可能にするか？
• RQ5 与えられた二分木 $A$ に対して、括弧付き相関関数 $S_A$ は、指定された領域内でのグローバルに定義された実解析的関数 $\phi$ の展開と等価か？

主な発見

• ブートストラップ方程式と共形対称性を組み合わせることで、完全頂点代数の枠組みにおいて、任意の演算子積展開における4点相関関数の整合性が保証される。
• 完全頂点代数は、$\mathbb{Z}$-次数付き頂点代数の実解析的一般化であり、その公理から自然に正則的および反正則的部分代数が導かれる。
• $n \leq 4$ および真空挿入を伴う $n=5$ の場合に、括弧付き相関関数 $S_A$ は、指定された収束領域内でのグローバルに定義された実解析的関数 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ の展開に一致する。
• 格子頂点代数からの変形を用いて、グレアマニアンをパrameterとする完全頂点代数の可変パラメータをもつ族が構成され、トーラス的ストリングコンパクト化に由来する非有理的CFTをモデル化する。
• 変数変換 $x_i = z_i - z_j$ は木構造から体系的に導かれる。収束領域は、子ノードに対して $|x_k| > |x_i|$ という階層的距離条件によって定まる。
• 真空挿入を伴う $n \leq 4$ および $n=5$ の場合に、$S_A$ が実解析的関数 $\phi$ の展開であるという予想が証明され、重要な整合性の確認が得られた。