[論文レビュー] Fully nonlinear stochastic and rough PDEs: Classical and viscosity solutions

Rainer Buckdahn, Christian Keller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかなテスト関数を用いた粘性解の概念を導入することで、完全非線形な確率的および粗いPDE（SPDE/RPDE）の統一的枠組みを確立した。一致性、安定性、および部分的比較原理を証明した。拡散係数が半線形である場合には、特徴線法と粗いパス解析を用いて、全局的解の存在と完全な比較原理を含む完全な理論を達成した。

ABSTRACT

We study fully nonlinear second-order (forward) stochastic partial differential equations (SPDEs). They can also be viewed as forward path-dependent PDEs (PPDEs) and will be treated as rough PDEs (RPDEs) under a unified framework. We develop first a local theory of classical solutions and define then viscosity solutions through smooth test functions. Our notion of viscosity solutions is equivalent to the alternative one using semi-jets. Next, we prove basic properties such as consistency, stability, and a partial comparison principle in the general setting. When the diffusion coefficient is semi-linear (but the drift can be fully nonlinear), we establish a complete theory, including global existence and comparison principle. Our methodology relies heavily on the method of characteristics.

研究の動機と目的

• 完全非線形2階前向きSPDEおよびパス依存PDE（PPDE）の粘性解の一貫性のある理論を、粗いパス設定において構築すること。
• 確率的PDE、パス依存PDE、粗いPDEの取り扱いを、一つの解析的枠組みで統一すること。
• 拡散係数が半線形である場合に、粘性解の存在と比較原理を確立すること。
• 一般の場合において、一貫性、安定性、および部分的比較原理といった重要な性質を証明すること。
• 特徴線法と粗いテイラー展開を用いて、古典的解理論を局所的および全局的適切性へと拡張すること。

提案手法

• ストラトノビッチ形式でのSPDE（1.1）を定式化し、デュプリールのパス微分を用いて前向きPPDE（1.2）として再解釈する。
• ギュビネリの微分と粗いパス理論を用いて、SPDEを粗いPDE（1.3）として再表現し、制御された粗いパスと関連付ける。
• 特徴線法を用いて古典的解を定義し、関連する特徴線方程式の局所的適切性を導出する。
• 滑らかなテスト関数を用いた粘性解を定義し、半ジャケットに基づく定義と同等であることを証明する。
• 粗いパス技術を用いて、変数変換の公式と粘性解の安定性を確立する。
• 一般の場合には部分的比較原理を証明し、拡散係数が半線形である場合には完全な比較原理を証明することで、全局的解の存在を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス依存設定における完全非線形粗いPDEの粘性解を一貫的に定義する方法は何か？
• RQ2 粗いPDEの文脈において、粘性解の安定性と一貫性を保証する条件は何か？
• RQ3 どのような条件下で、粗いPDEの粘性解に対して完全な比較原理が成り立つか？
• RQ4 拡散係数が半線形である場合に、粘性解の全局的解の存在を確立できるか？
• RQ5 特徴線法は、粗いPDE設定へとどのように拡張され、適切性を保証するか？

主な発見

• 滑らかなテスト関数による粘性解の概念は、半ジャケットに基づく定義と同等であり、解の枠組みにおける一貫性を保証する。
• 理論は、一様収束下での粘性解の安定性を証明しており、数値的および近似スキームにとって重要な性質である。
• 一般の場合には部分的比較原理が確立され、完全な正則性がない場合の一意性の基礎を提供する。
• 拡散係数が半線形である場合には完全な比較原理が成り立つため、粘性解の一意性と全局的解の存在が証明可能である。
• 半線形拡散係数のもとで、粘性解の全局的解が確立され、解は空間的・時間的Hölder正則性を有する空間 $ C^{k, ext{loc}}_{eta,eta}(bR_T) $ に属する。
• 特徴線法と粗いテイラー展開、粗いパス積分を組み合わせることで、$ C^{k+2}_{eta,eta}([0,T]) $ における古典的解の局所的適切性が得られ、$ f $, $ g $, 初期データに依存する明示的な推定が可能である。