[論文レビュー] Crandall-Lions Viscosity Solutions for Path-Dependent PDEs: The Case of Heat Equation

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 70被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Crandall-Lionsの精神に則り、経路に依存するPDEのための粘性解理論を確立し、経路に依存する熱方程式に焦点を当てる。一般条件下で関数的 Itô 公式を用いて存在性を証明し、新規の滑らかなゲージ関数と Ekeland の原理の変種を用いて一意性を示す。水平・垂直微分を用いて、古典的粘性理論を経路に依存する設定へと拡張する。

ABSTRACT

We address our interest to the development of a theory of viscosity solutions {à} la Crandall-Lions for path-dependent partial differential equations (PDEs), namely PDEs in the space of continuous paths C([0, T ]; R^d). Path-dependent PDEs can play a central role in the study of certain classes of optimal control problems, as for instance optimal control problems with delay. Typically, they do not admit a smooth solution satisfying the corresponding HJB equation in a classical sense, it is therefore natural to search for a weaker notion of solution. While other notions of generalized solution have been proposed in the literature, the extension of the Crandall-Lions framework to the path-dependent setting is still an open problem. The question of uniqueness of the solutions, which is the more delicate issue, will be based on early ideas from the theory of viscosity solutions and a suitable variant of Ekeland's variational principle. This latter is based on the construction of a smooth gauge-type function, where smooth is meant in the horizontal/vertical (rather than Fr{é}chet) sense. In order to make the presentation more readable, we address the path-dependent heat equation, which in particular simplifies the smoothing of its natural "candidate" solution. Finally, concerning the existence part, we provide a new proof of the functional It{ô} formula under general assumptions, extending earlier results in the literature.

研究の動機と目的

• Crandall-Lionsのスタイルの経路に依存するPDEのための粘性解フレームワークを構築すること。これは未解決の問題のままである。
• 遅延付き最適制御に現れる経路に依存するPDEに対して、古典的解が存在しないという問題に対処すること。
• 水平・垂直の意味での滑らかなゲージ関数を用いて、Ekelandの変分原理の変種を用いて、経路に依存するPDEの粘性解の一意性を確立すること。
• 一般仮定の下で関数的 Itô 公式を用いて、粘性解の存在性を証明すること。
• 原型的ケースとして経路に依存する熱方程式に注目することで、解析を単純化すること。

提案手法

• 連続経路の空間 C([0,T];ℝd) において、PDEを水平微分 ∂tH と垂直微分 ∂xxV を用いて定義する。
• 一般条件下で関数的 Itô 公式を適用し、粘性解の存在性を確立する。
• 水平・垂直の意味での滑らかなゲージ関数型関数を導入し、Ekelandの変分原理の一意性への適用を可能にする。
• 経路に依存する設定に特化したEkelandの原理の変種を用いる。これは、経路微分の有限次元性を活用する。
• 時刻平均化された経路射影と基底関数を用いて、C([0,T];ℝd) 内のコンパクト集合 K̃ を構成し、一様連続性を保証する。
• Cantorの対角線論法と係数の収束に依存して、像集合の相対的コンパクト性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Crandall-Lionsの粘性解理論を連続経路空間における経路に依存するPDEに拡張することは可能か？
• RQ2 古典的滑らかさが成立しない場合、経路に依存するPDEの粘性解の一意性はどのように確立できるか？
• RQ3 水平微分と垂直微分は、経路に依存するPDEの定義と解法においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 一般仮定の下で関数的 Itô 公式を導出することは可能か？ その結果、解の存在性を支持できるか？
• RQ5 滑らかなゲージ関数を用いて、Ekelandの変分原理を経路に依存する設定にどのように適合できるか？

主な発見

• 本稿は、Crandall-Lionsフレームワークにおける経路に依存するPDEのための粘性解理論を確立し、長年の未解決問題を解決した。
• 水平・垂直の意味での滑らかなゲージ関数を用いたEkelandの変分原理の新規応用により、経路に依存するPDEの粘性解の一意性が証明された。
• 一般仮定の下で関数的 Itô 公式を用いて、粘性解の存在性が確立され、先行研究が拡張された。
• 経路に依存する熱方程式は、時刻シフト付き初期経路を伴うブラウン運動によるFeynman-Kac表現を満たす粘性解を有する。
• 像集合の相対的コンパクト性に依存して、C([0,T];ℝd) のコンパクト部分集合上で解が一様連続であることが示された。
• K̃ の構成により、端末条件 ξ の一様連続性が保証され、これが一意性の議論において不可欠であることがわかった。