[論文レビュー] Fully Online Matching II: Beating Ranking and Water-filling

Zhiyi Huang, Zhihao Gavin Tang+2 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、完全オンラインマッチングモデルにおいて、古典的なRankingおよびWater-fillingアルゴリズムを上回る性能を示す2つの新規アルゴリズム—二部グラフにおける整数マッチングのためのバランスドランクイングと、一般グラフにおける分数マッチングのためのエージャー・ウォーター・フィリング—を提案する。整数設定においてはウォーター・フィリングの知見を統合し、分数設定では早期マッチングを可能にすることで、それぞれ0.569および0.592の競合比を達成し、従来の理論的上限を打ち破った。

ABSTRACT

Karp, Vazirani, and Vazirani (STOC 1990) initiated the study of online bipartite matching, which has held a central role in online algorithms ever since. Of particular importance are the Ranking algorithm for integral matching and the Water-filling algorithm for fractional matching. Most algorithms in the literature can be viewed as adaptations of these two in the corresponding models. Recently, Huang et al.~(STOC 2018, SODA 2019) introduced a more general model called \emph{fully online matching}, which considers general graphs and allows all vertices to arrive online. They also generalized Ranking and Water-filling to fully online matching and gave some tight analysis: Ranking is $Ω\approx 0.567$-competitive on bipartite graphs where the $Ω$-constant satisfies $Ωe^Ω= 1$, and Water-filling is $2-\sqrt{2} \approx 0.585$-competitive on general graphs. We propose fully online matching algorithms strictly better than Ranking and Water-filling. For integral matching on bipartite graphs, we build on the online primal dual analysis of Ranking and Water-filling to design a $0.569$-competitive hybrid algorithm called Balanced Ranking. To our knowledge, it is the first integral algorithm in the online matching literature that successfully integrates ideas from Water-filling. For fractional matching on general graphs, we give a $0.592$-competitive algorithm called Eager Water-filling, which may match a vertex on its arrival. By contrast, the original Water-filling algorithm always matches vertices at their deadlines. Our result for fractional matching further shows a separation between fully online matching and the general vertex arrival model by Wang and Wong (ICALP 2015), due to an upper bound of $0.5914$ in the latter model by Buchbinder, Segev, and Tkach (ESA 2017).

研究の動機と目的

• 完全オンラインマッチングモデルにおいて、両者とも以前は最適であると見なされていたRankingおよびWater-fillingの理論的限界を克服すること。
• 二部グラフにおけるRankingフレームワークにウォーター・フィリングの長所を統合したハイブリッド整数アルゴリズムを設計すること。
• 到着時刻まで待たずにマッチングを実行できる（早期マッチングを可能にする）分数アルゴリズムを開発すること。
• 既知の下限値Ω ≈ 0.567（Ranking）および2−√2 ≈ 0.585（Water-filling）を厳密に上回る新たな競合比を確立すること。
• 一般頂点到着モデルと比較して、完全オンラインモデルにおいてより高い上限値を示すことで、両モデルの差異を示すこと。

提案手法

• オンラインプライマル・デュアル解析を用い、Rankingのランダム順列とWater-fillingのマッチング優先順位を組み合わせたハイブリッドアルゴリズム「バランスドランクイング」を提案する。
• 頂点が到着した時点で、まだマッチングが最も少ない利用可能な隣接頂点に即座にマッチングを行う、分数アルゴリズム「エージャー・ウォーター・フィリング」を導入する。
• 逆累積マッチング確率をモデル化する関数h: [0,1] → [0,1]を用い、f = h⁻¹を用いてマッチングの閾値を決定する。
• 要因を露呈する線形計画法を用いて、双対妥当性および競合比制約を満たす関数hを導出する。
• オンラインプライマル・デュアルフレームワークを適用し、すべての頂点到着順序において近似的な双対妥当性を満たす双対変数α_vおよびα_uを導出する。
• すべての状況をカバーするため、vがuより先に到着する場合とuがvより先に到着する場合の2つの主要な式を導出し、双対妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全オンラインマッチングモデルにおいて、二部グラフにおける整数オンラインマッチングアルゴリズムが、Rankingの競合比約0.567を厳密に上回ることは可能か？
• RQ2 完全オンラインマッチングモデルにおいて、一般グラフにおける分数オンラインマッチングアルゴリズムが、Water-fillingの2−√2 ≈ 0.585の競合比を超えることは可能か？
• RQ3 頂点の早期（エージャー）マッチングを許容する完全オンラインマッチングアルゴリズムを設計することは可能か？また、これにより競合比が向上するか？
• RQ4 完全オンラインモデルは、分数マッチングにおいて一般頂点到着モデルよりも高い競合比を達成可能か？（一般頂点到着モデルの上限は0.5914である。）
• RQ5 オンラインプライマル・デュアル法を、RankingおよびWater-fillingの両方のアイデアを統合する包括的なフレームワークに拡張可能か？

主な発見

• 提案されたバランスドランクイングアルゴリズムは、二部グラフにおける整数マッチングで0.569の競合比を達成し、Rankingによる従来の最良知見のΩ ≈ 0.567を上回った。
• エージャー・ウォーター・フィリングアルゴリズムは、一般グラフにおける分数マッチングで0.592の競合比を達成し、元のWater-fillingアルゴリズムの2−√2 ≈ 0.585の競合比を上回った。
• 補題4.4における不等式(7)、(8)、(9)を満たす関数hの存在が確認され、競合比解析に用いられる双対変数の妥当性が裏付けられた。
• エージャー・ウォーター・フィリングの0.592の競合比は、分数マッチングにおいて上限が0.5914である一般頂点到着モデルとは明確な分離を示しており、その意義を裏付けた。
• 結果として、完全オンラインモデルにおける整数および分数アルゴリズムが、それぞれ古典的アルゴリズムを上回ることを示し、RankingおよびWater-fillingが最適であるという仮定に疑問を呈した。
• 分析により、定義された双対変数のもとで逆弱双対性が等号で成立することが確認され、使用したオンラインプライマル・デュアルフレームワークの正しさが裏付けられた。