[論文レビュー] Competitive-Ratio Approximation Schemes for Minimizing the Makespan in the Online-List Model

Nicole Megow, Andreas Wiese|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、同一および均一関連マシンのオンラインリストモデルにおけるオンラインマクスパン最小化のための、最初の競合比近似スキームを提示する。アルゴリズム写像、構成ベース解析、および有界速度離散化を活用することで、最適に近い任意の競合比を持つオンラインアルゴリズムを計算可能であり、また任意の所望の精度で最適競合比を推定可能である。

ABSTRACT

We consider online scheduling on multiple machines for jobs arriving one-by-one with the objective of minimizing the makespan. For any number of identical parallel or uniformly related machines, we provide a competitive-ratio approximation scheme that computes an online algorithm whose competitive ratio is arbitrarily close to the best possible competitive ratio. We also determine this value up to any desired accuracy. This is the first application of competitive-ratio approximation schemes in the online-list model. The result proves the applicability of the concept in different online models. We expect that it fosters further research on other online problems.

研究の動機と目的

• オンラインタイムモデルとは異なる、オンラインリストモデルにおける競合比近似スキームの欠如に取り組む。
• 任意の固定されたマシン数に対して、最良のものに限りなく近い競合比を持つオンラインアルゴリズムを計算する手法を提供する。
• 手作業による上限・下限導出の制限を克服し、オンラインマクスパン最小化の最適競合比を任意の所望の精度まで推定する。
• オンラインタイムモデルにとどまらず、より制限の厳しいオンラインリストモデルへも競合比近似スキームの適用範囲を拡大する。
• 将来的な一般オンライン問題の性質に関する研究の基盤を築く。

提案手法

• ジョブサイズとマシン状態に基づくオンライン意思決定ルールを符号化するアルゴリズム写像を定義し、問題を有限個の候補戦略に還元する。
• 現実的なジョブ・マシン割り当てを最悪ケースシナリオで考慮することで、各アルゴリズム写像の競合比を構成ベース解析により上限付ける。
• マシン速度を $1+\varepsilon$ の累乗に丸めることで速度離散化を適用し、競合比に最大 $1+\varepsilon$ の要因の損失をもたらす。
• 最大マシン速度を $m/\varepsilon$ に制限する損失ありだが有界な変換により、取り扱う必要のある速度ベクトルは有限個に制限される。
• 各離散化速度ベクトルとジョブサイズ構成について、すべての妥当なアルゴリズム写像を列挙し、多項式時間近似手順を用いてそれらの競合比を推定する。
• 推定競合比が最小となるアルゴリズム写像を選択することで、出力アルゴリズムが $ (1+\varepsilon) \rho^* $-競合的であることを保証するとともに、推定値が真の最適比の $ (1+\varepsilon) $ 以内にあることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 意思決定が不可逆的で、リリース時刻なしにジョブが逐次到着するオンラインリストモデルにおいて、競合比近似スキームを効果的に適用できるか？
• RQ2 $ m $ 個の同一または均一関連マシンにおけるオンラインマクスパン最小化の最適競合比は何か？ また、任意の精度で近似可能か？
• RQ3 アルゴリズム写像と構成ベース解析を、オンラインリストモデルの制約を満たしつつも競合比保証を維持できるようにどのように適合できるか？
• RQ4 競合比性能の著しい劣化を招かずに、マシン速度およびジョブ処理時間を有界に離散化するための変換は何か？
• RQ5 計算的手法は、オンラインスケジューリングにおける最適競合比の上限・下限を手作業で導出するのをどの程度代替できるか？

主な発見

• 本稿は、$ \textup{Pm}|\,\,|C_{\max} $ のオンラインリストバージョンにおける、競合比近似スキームの初の提示であり、最適に近い任意の競合比を持つオンラインアルゴリズムの計算を可能にする。
• 均一関連マシンでは、速度離散化と有界な構成解析を用いて $ \textup{Qm}|\,\,|C_{\max} $ へ拡張可能であり、$ (1+\varepsilon) $-近似保証を維持する。
• 本手法は最適競合比 $ \rho^* $ を $ (1+\varepsilon) $ 要因の範囲で推定可能であり、任意のマシン数に対して計算可能かつ正確な境界を提供する。
• 構成は理論的に妥当であり、競合比近似スキームがオンラインタイムモデルを超えて適用可能であることを証明し、新たな研究分野を開く。
• 理論的には正しくても、計算複雑性が高く、特に $ \varepsilon $ が小さい場合には実用的実装のための最適化されたアルゴリズム構造の必要性が示唆される。
• 本フレームワークは、コンピュータが競合比境界の導出を自動化できることを示しており、従来の手作業による証明手法とは対照的である。