[論文レビュー] Funciones Esféricas Matriciales Asociadas a las Esferas y a los Espacios Proyectivos Reales

Ignacio Zurrián|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2013

Mathematical functions and polynomials参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Hahn多項式を用いた共役変換により結合された常微分方程式系を分解することで、$(\mathrm{SO}(4),\mathrm{SO}(3))$ のすべての既約行列値球関数を特定し、Gegenbauer多項式の形で解を得る。$n$-次元球面と実射影空間 $\mathbb{R}P^n$ の球関数の間の明確な対応関係を確立し、第二および第一階微分作用素を許容する重み行列に関して行列直交多項式を構成する。

ABSTRACT

In this work we start by determining all irreducible spherical functions $Φ$ of any $K $-type associated to the pair $(G,K)=(\SO(4),\SO(3))$. The functions $P=P(u)$ corresponding to the irreducible spherical functions of a fixed $K$-type $π_\ell$ are appropriately packaged into a sequence of matrix valued polynomials $(P_w)_{w\ge0}$ of size $(\ell+1) imes(\ell+1)$. Finally we prove that $\widetilde P_w={P_0}^{-1}P_w$ is a sequence of matrix orthogonal polynomials with respect to a weight matrix $W$. Moreover, we show that $W$ admits a second order symmetric hypergeometric operator $\widetilde D$ and a first order symmetric differential operator $\widetilde E$. Later, we establish a direct relationship between the spherical functions of the $n$-dimensional sphere $S^n\simeq\SO(n+1)/\SO(n)$ and the spherical functions of the $n$-dimensional real projective space $P^n(\mathbb{R})\simeq\SO(n+1)/\mathrm{O}(n)$. Concluding that to find all the spherical functions of one of these pairs is equivalent to do the same it with the other. Finally, we study the spherical functions of certain types of the $n$-dimensional sphere $S^{n}\simeq \SO(n+1)/\SO(n)$, for any $n$. More precisely, we give explicitly all the spherical functions whose associated functions $H$ are scalar valued, including those of trivial type, and then we study the irreducible spherical functions of fundamental type, describing them in terms of matrix valued hypergeometric functions $_2!F_1$. Thereafter, for every fundamental type we build a sequence of ortogonal matrix valued polynomials with respect to a weight $W$, which are associated to the spherical functions. We also prove that, for any $n$, $W$ admits a second order symmetric differential operator.

研究の動機と目的

• 対称対 $(\mathrm{SO}(4),\mathrm{SO}(3))$ の任意の $K$-型について、すべての既約行列値球関数を分類すること。
• $n$-次元球面 $S^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{SO}(n)$ と実射影空間 $\mathbb{R}P^n \simeq \mathrm{SO}(n+1)/\mathrm{O}(n)$ の球関数の間の正確な対応関係を確立すること。
• 球関数に関連する行列直交多項式の列を構成し、それが重み行列 $W$ に関して直交することを証明すること。

提案手法

• 各球関数 $\Phi$ を、$u=0$ におけるベクトル値正則関数 $H(u)$ に結びつけ、その成分が2つの結合された常微分方程式系を満たすようにする。
• Hahn多項式を用いた共役変換を適用し、一方の系を分離し、超幾何方程式系に変換する。
• 分離された系を解き、Gegenbauer多項式の倍数である成分を持つベクトル解 $P(u)$ を得る。
• $\mathrm{SO}(4)$ の表現論を用いて同時解を特定し、すべての既約球関数を特徴付ける。
• 固定された $K$-型 $\pi_\ell$ に対して、$(\ell+1) \times (\ell+1)$ 行列値多項式 $\{P_w\}_{w \geq 0}$ の列を構成する。
• $\widetilde{P}_w = P_0^{-1} P_w$ を定義し、これが重み行列 $W$ に関して行列直交多項式の列をなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対 $(\mathrm{SO}(4),\mathrm{SO}(3))$ の任意の $K$-型について、すべての既約行列値球関数は何か？
• RQ2 $n$ を一般の値として、球面 $S^n$ と実射影空間 $\mathbb{R}P^n$ の球関数の関係は何か？
• RQ3 球関数から生じる行列直交多項式に対応する重み行列 $W$ を構成可能か？また、$W$ が許容する微分作用素は何か？

主な発見

• $(\mathrm{SO}(4),\mathrm{SO}(3))$ の任意の $K$-型について、超幾何方程式系の分離解を得た後、表現論を用いてすべての既約球関数が完全に特徴づけられる。
• 解 $P(u)$ は成分がGegenbauer多項式に比例するベクトル値関数であり、固定された $K$-型 $\pi_\ell$ に対して、$(\ell+1) \times (\ell+1)$ 行列値多項式 $P_w$ の列にまとめられる。
• 正規化列 $\widetilde{P}_w = P_0^{-1} P_w$ は、重み行列 $W$ に関して行列直交多項式の列をなす。
• 重み行列 $W$ は第二階の対称微分作用素 $\widetilde{D}$ と第一階の対称微分作用素 $\widetilde{E}$ を許容し、これらは直交性構造の中心的役割を果たす。
• 奇数 $n$ の場合、$S^n$ と $\mathbb{R}P^n$ の球関数は型が一致する。偶数 $n$ の場合、対 $({\mathrm{SO}}(n+1),{\mathrm{SO}}(n))$ と $({\mathrm{SO}}(n+1),\mathrm{O}(n))$ の球関数の間には明確な対応関係が存在する。
• $n$ が任意の値であっても、基本型球関数に対応する重み行列 $W$ は第二階の対称微分作用素を許容し、これが直交多項式枠組みにおけるその役割を裏付ける。