[論文レビュー] Function contractive maps in partial metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハの縮小原理を拡張することで、部分的距離空間における関数的収縮のための不動点定理を確立する。一般化された収縮条件（比較関数φと制御関数ψを含む）のもとで、零完全な部分的距離空間上の自己写像Tは、部分的距離によって誘導されるe-距離位相で収束が保証される唯一の不動点を持つことを証明する。

ABSTRACT

Some fixed point results are given for a class of functional contractions over partial metric spaces. These extend some contributions in the area due to Ilic et al [Math. Comput. Modelling, 55 (2012), 801-809].

研究の動機と目的

• 関数的収縮を用いて、バナッハの縮小原理を部分的距離空間へ拡張すること。
• 零完全な部分的距離空間上の自己写像が唯一の不動点を持つための条件を確立すること。
• 部分的距離空間における不動点結果が、誘導されるe-距離を介して標準的距離の議論に還元可能であることを示すこと。
• 比較関数φと制御関数ψを収縮条件に導入することで、Ilićらの先行結果を一般化すること。
• 不動点が一意的であり、反復列がe-距離位相で収束することを示すこと。

提案手法

• 部分的距離空間(X,d)を定義し、その関連するe-距離e(x,y) = 2d(x,y) - d(x,x) - d(y,y)を導入する。このe-距離はハウスドルフ位相を誘導する。
• e-距離を用いて逐次収束を分析する：xₙ → x（e収束）であるとは、limₙ d(xₙ,x) = limₘ,ₙ d(xₘ,xₙ) = d(x,x) が成り立つことである。
• 関数的収縮条件を導入する：すべてのx,y ∈ Xに対してd(Tx,Ty) ≤ max{φ(M(x,y)), b(x,y)}が成り立つ。ここでM(x,y)は距離の組み合わせであり、b(x,y)は対称項である。
• 制御関数φとψを定義する。φ(t) < t（t > 0のとき）であり、ψ(t) = t - φ(t)は非減少であり、ψ(t) = 0であることはt = 0に同値である。
• 反復により定義される列(zₙ)：zₙ₊₁ = Tzₙを構成し、背理法と極限解析を用いてこれがe-コーシー列であることを証明する。
• 列(zₙ)の極限zが、d(z,Tz) = θ = limₙ d(zₙ,zₙ)を満たすことを示し、これはzが不動点であることを意味する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的距離空間における関数的収縮が唯一の不動点を持つための条件は何か？
• RQ2 部分的距離空間における不動点結果は、e-距離を介して標準的距離の議論に還元可能か？
• RQ3 比較関数φと制御関数ψを含む一般化された収縮条件が、不動点の存在と一意性に与える影響は何か？
• RQ4 部分的距離空間の零完全性が反復列の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 提案された関数的収縮条件のもとで不動点は一意的であり、列はe-距離で収束するか？

主な発見

• 収縮条件d(Tx,Ty) ≤ max{φ(M(x,y)), b(x,y)}が成り立ち、φがφ(t) < t（t > 0のとき）を満たすならば、自己写像TはXに唯一の不動点を持つ。
• zₙ₊₁ = Tzₙで定義される反復列(zₙ)はe-コーシー列であり、e-距離位相で唯一の不動点zに収束する。
• 極限zはd(z,Tz) = θ = limₙ d(zₙ,zₙ)を満たす。これは不動点としてTz = zを意味する。
• 証明は背理法に依存する：d(z,Tz) > θと仮定すると、φとψの性質と矛盾が生じる。
• φ(t) = αt（α ∈ [0,1)）のとき、この結果はIlićらの定理を一般化する。証明技法は彼らの元のアプローチとは異なる。
• e-距離e(x,y) = 2d(x,y) - d(x,x) - d(y,y)は、標準的距離の不動点技法を部分的距離設定に移行するために不可欠である。