[論文レビュー] Functional calculus and spectral asymptotics for hypoelliptic operators on Heisenberg Manifolds. I

Raphaël Ponge|ArXiv.org|Feb 25, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 49被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Beals-GreinerおよびTaylorのヘイゼンベルク計算を用いて、ヘイゼンベルク多様体上の擬微分作用素に対して関数計算を構築し、複素冪をホロモルフィックな$Ψ_{H}$ DOの族として確立し、鋭いスペクトル漸近展開を導出する。また、熱作用素$P + \partial_t$の逆元が存在するための条件を提示し、幾何的作用素（例えば、Kohnラプラシアンや接触ラプラシアン）に対するWeyl漸近展開を証明する。明示的な定数は次元および形式次数にのみ依存する。

ABSTRACT

This paper is part of a series papers devoted to geometric and spectral theoretic applications of the hypoelliptic calculus on Heisenberg manifolds. More specifically, in this paper we make use of the Heisenberg calculus of Beals-Greiner and Taylor to analyze the spectral theory of hypoelliptic operators on Heisenberg manifolds. The main results of this paper include: (i) Obtaining complex powers of hypoelliptic operators as holomorphic families of Psi_{H}DO's, which can be used to define a scale of weighted Sobolev spaces interpolating the weighted Sobolev spaces of Folland-Stein and providing us with sharp regularity estimates for hypoelliptic operators on Heisenberg manifolds; (ii) Criterions on the principal symbol of $P$ to invert the heat operator $P+\partial_{t}$ and to derive the small time heat kernel asymptotics for $P$; (iii) Weyl asymptotics for hypoelliptic operators which can be reformulated geometrically for the main geometric operators on CR and contact manifolds, that is, the Kohn Laplacian, the horizontal sublaplacian and its conformal powers, as well as the contact Laplacian. For dealing with complex powers of hypoelliptic operators we cannot make use of the standard approach of Seeley, so we rely on a new approach based on the pseudodifferential approach representation of the heat kernel. This is especially suitable for dealing with positive hypoelliptic operators. We will deal with more general operator in a forthcoming paper using another new approach.

研究の動機と目的

• 古典的擬微分法の制限を克服するために、ヘイゼンベルク多様体上の擬微分作用素に対して関数計算を構築すること。
• 擬微分作用素の複素冪をホロモルフィックな$Ψ_{H}$ DOの族として確立し、重み付きソボレフ空間のスケールを用いた鋭い正則性推定を可能にすること。
• 熱作用素$P + \partial_t$の逆元が存在するための、主記号に関する条件を導出し、小時間における熱核漸近展開を獲得すること。
• CR多様体および接触多様体上の主要な幾何的作用素（Kohnラプラシアン、水平部分ラプラシアン、接触ラプラシアンなど）に対するWeyl漸近展開を証明すること。
• ヘイゼンベルク設定における非可換幾何的枠組みの基礎を築くこと、特にConnes-Moscoviciの局所的インデックス公式を含むこと。

提案手法

• Beals-GreinerおよびTaylorのヘイゼンベルク計算を用い、各点$x \in M$におけるノルム的接群$G_xM$上で作用素をモデル化する。
• 標準的なSeeley法の代わりに、ヘイゼンベルク計算における微局所性の欠如を避けるために、熱核を擬微分的アプローチで表現する。
• 擬微分作用素の複素冪をホロモルフィックな$Ψ_{H}$ DOの族として構成し、Folland-Steinの重み付きソボレフ空間の間の補間を可能にする。
• [Po6]の接続群構成を用いて、一般のヘイゼンベルク多様体上で主記号を内在的に定義し、記号計算を可能にする。
• 点$a \in M$を中心とするヘイゼンベルク座標を用い、$\mathbb{H}^{2n+1}$上の局所的モデル作用素と$M$上のグローバル作用素を比較する。
• ヘイゼンベルク群$\mathbb{H}^{2n+1}$上のモデル作用素$\Delta_R^0$を用い、$\Delta_R^0 + \partial_t$の基本解$K_0(x,t)$を介して漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘイゼンベルク計算において、擬微分作用素の複素冪をどのように定義すれば鋭い正則性推定が得られるか？
• RQ2 擬微分作用素$P$の主記号にどのような条件が課されれば、熱作用素$P + \partial_t$が可逆になるか？
• RQ3 ヘイゼンベルク多様体上の擬微分作用素に対して、小時間における熱核漸近展開はどのように得られるか？
• RQ4 CR多様体および接触多様体上でのKohnラプラシアンおよび接触ラプラシアンのWeyl漸近展開は、幾何的にどのように現れるか？
• RQ5 擬微分作用素のスペクトル理論を用いて、ヘイゼンベルク設定における非可換幾何的枠組みを構築できるか？

主な発見

• すべての$k=0,\ldots,2n$、ただし$k \neq n$に対して、固有値数関数$N(\Delta_{R|_{\Lambda^k}})$は$\lambda \to \infty$のとき$N(\Delta_{R|_{\Lambda^k}}) \sim \nu_{nk}(\operatorname{vol}_\theta M)\lambda^{n+1}$を満たし、ここで$\nu_{nk} = 2^{-n}/(n+1)! \cdot \operatorname{tr}_{\Lambda^{k,0}} K_0|_{\Lambda^{k,0}}(0,1)$である。
• すべての$j=1,2$に対して、固有値数関数$N(\Delta_{R|_{\Lambda^n_j}})$は$\lambda \to \infty$のとき$N(\Delta_{R|_{\Lambda^n_j}}) \sim \nu_n^{(j)}(\operatorname{vol}_\theta M)\lambda^{(n+1)/2}$を満たし、ここで$\nu_n^{(j)} = 2^{-n}\Gamma(1 + (n+1)/2)^{-1} \cdot \operatorname{tr}_{\Lambda^{n,0}_j} K_0|_{\Lambda^{n,0}_j}(0,1)$である。
• 定数$\nu_{nk}$および$\nu_n^{(j)}$は$n$および$k$（または$j$）にのみ依存するため、特定の多様体とは無関係な普遍定数である。
• 点$a$におけるモデル作用素$\Delta_R^a$は、ヘイゼンベルク座標において接触ラプラシアン$\Delta_R^0$ on $\mathbb{H}^{2n+1}$と一致し、局所的漸近解析が可能になる。
• 熱核漸近展開は、$\Delta_R^0 + \partial_t$の基本解$K_0(x,t)$を介して得られ、$\Lambda^{k,0}$および$\Lambda^{n,0}_j$への制限のトレースが$t=1$でスペクトル定数を決定する。
• Weyl漸近展開は幾何的に再解釈される：固有値の成長率は接触多様体の内在的次元および構造を反映しており、$k \neq n$と$k=n$で異なる指数を示す。