[論文レビュー] Functional equations for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

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ひとこと要約

本稿では、フーリエ型展開およびHurwitzゼータ関数とポリガンマ関数を含む積分表現を用いて、有理数の引数 a = j/m における第一および第二のStieltjes定数 γ₁(a) および γ₂(a) の明示的な関数方程式を導出する。主な貢献は、γ₁(j/m) および γ₂(j/m) が初等定数、対数、Barnes G関数およびゼータ関数の導関数の特殊値を用いて閉形式で評価可能であることにあり、解析的数論における新しい計算および漸近的道具を可能にする。

ABSTRACT

The Stieltjes constants $γ_k(a)$ appear as the coefficients in the regular part of the Laurent expansion of the Hurwitz zeta function $ζ(s,a)$ about $s=1$. We present the evaluation of $γ_1(a)$ and $γ_2(a)$ at rational argument, being of interest to theoretical and computational analytic number theory and elsewhere. We give multiplication formulas for $γ_0(a)$, $γ_1(a)$, and $γ_2(a)$, and point out that these formulas are cases of an addition formula previously presented. We present certain integral evaluations generalizing Gauss' formula for the digamma function at rational argument. In addition, we give the asymptotic form of $γ_k(a)$ as $a o 0$ as well as a novel technique for evaluating integrals with integrands with $\ln(-\ln x)$ and rational factors.

研究の動機と目的

• 第一および第二のStieltjes定数が有理数の引数において明示的な閉形式表現をとることを導出すること。これは、既知の γ₀(a) = −ψ(a) の結果を拡張するものである。
• 一般の関数的枠組みの特別な場合として、γ₀(a), γ₁(a), γ₂(a) に対する乗法および加法の公式を確立すること。
• ln(−ln x) と有理関数を含む特定の種類の対数対数積分を評価し、それらをStieltjes定数の差と関連付けること。
• ln(−ln x) を含む被積分関数と有理分母を持つ積分を評価するための新規な手法を提供すること、特に単位根に極を持つものに特化する。
• 差分 γₖ(j/m) − γₖ(1) が対数和およびHurwitzゼータ関数とその導関数の特殊値とどのように関連するかを明らかにすること。

提案手法

• s=1 の周りにおけるHurwitzゼータ関数 ζ(s,a) のローラン展開を用いて、γₖ(a) を係数として定義する。
• ∫₀¹ ln(−ln x)/(x−a) dx の形をした積分に対して部分分数分解を適用し、s=1 における多価対数関数 Liₛ(z) の導関数に関する既知の積分表現を活用する。
• Riemannゼータ関数の関数等式および s=0, −1, −2, ... における ζ(s,a) の特別な値を用いて、結果を Γ(a) および ψ(a) 関数で表現する。
• 高階の対数積分を扱うために、恒等式 ∂/∂s Liₛ(z)|ₛ₌₁ = −∑ₙ₌₁^∞ (lnⁿ z)/n! ⋅ ζ′(1−n, z) を用いる。
• 積分展開から生じる無限級数を評価するため、ζ′(1−n) および ζ′′(1−n) を含む和公式を適用する。
• 既知の関数的恒等式、例えば ζ′(0,a) = ln Γ(a) − ½ ln(2π) および Γ 関数と ζ 関数の相反公式を組み合わせて使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の整数 j < m に対して、有理数 j/m における第一Stieltjes定数 γ₁(j/m) の正確な関数的形は何か？
• RQ2 第二Stieltjes定数 γ₂(j/m) は、有理点における特殊関数および定数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 分母が単位根に根を持つ有理関数 p(x) を持つ形 ∫₀¹ ln(−ln x)/p(x) dx の積分は、ゼータ関数およびポリガンマ関数を用いて閉形式で評価可能か？
• RQ4 差分 γₖ(j/m) − γₖ(1) と n ≥ 0 における [lnᵏ(n+j/m)/(n+j/m)] の対数和との関係は何か？
• RQ5 ln(−ln x) を含み、有理分母を持つ積分を評価するための新規な手法は何か？

主な発見

• γ₁(j/m) に対する明示的な公式が導出され、初等定数、γ、ln(2π)、ln m、および ψ(j/m) と ζ′′(0, r/m) に関する三角関数和を含む。
• γ₂(j/m)/2 に対する閉形式表現が与えられ、γ、π²、γ₁、ζ′(0, r/m)、ζ′′(0, r/m)、ζ′′′(0, r/m) を含み、cot(πj/m) および ψ(j/m) に依存する補正項 A を含む。
• I₂ = ∫₀¹ ln(−ln x)/(1+x²) dx は、π/4 [ln(π/8) + γ + ∑ₘ₌₁^∞ ζ(2m+1)/(16ᵐ(2m+1))] に等しく、さらに π/2 ln(√(2π) Γ(3/4)/Γ(1/4)) に簡約可能である。
• 単位根に根を持つ有理関数 q(x) に対して、∫₀¹ ln(−ln x)/q(x) dx を評価する一般手法が開発され、部分分数分解と多価対数関数の導関数を用いる。
• この手法により、∫₀¹ ln(−ln x)/(x²−2x cos δ +1) dx = −π/(2 sin δ) [ (δ/π) ln(2π) − ln δ + ln Γ(1+δ/(2p))/Γ(1−δ/(2p)) ] が |δ| < π に対して新たに評価可能である。
• ∑ᵣ₌₁^q γₖ(r/q) = q(−1)ᵏ ln^{k+1}q/(k+1) + q∑ⱼ₌₀^k (−1)ʲ (k choose j) lnʲq ⋅ γ_{k−j} が成立することが示され、k=1 および k=2 に対して導出された公式により検証された。