[論文レビュー] Functional Inference on Rotational Curves and Identification of Human Gait at the Knee Joint

Fabian J. E. Telschow, Stephan Huckemann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Morphological variations and asymmetry参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、3次元回転曲線、特に膝関節における歩行解析を対象として、回転群 SO(3) 上に新たなガウスノイズモデルを導入し、関数的推論を可能にする。点毎の外在的平均曲線とリー群に基づく損失関数を用いることで、漸近的に一貫した推定が達成され、曲線長に関する非パラメトリックな2標本順列検定が可能となり、マーカー配置依存性を示す従来のオイラー角解析の限界を克服する。

ABSTRACT

We extend Gaussian perturbation models in classical functional data analysis to the three-dimensional rotational group where a zero-mean Gaussian process in the Lie algebra under the Lie exponential spreads multiplicatively around a central curve. As an estimator, we introduce point-wise extrinsic mean curves which feature strong perturbation consistency, and which are asymptotically a.s. unique and differentiable, if the model is so. Further, we consider the group action of time warping and that of spatial isometries that are connected to the identity. The latter can be asymptotically consistently estimated if lifted to the unit quaternions. Introducing a generic loss for Lie groups, the former can be estimated, and based on curve length, due to asymptotic differentiability, we propose two-sample permutation tests involving various combinations of the group actions. This methodology allows inference on gait patterns due to the rotational motion of the lower leg with respect to the upper leg. This was previously not possible because, among others, the usual analysis of separate Euler angles is not independent of marker placement, even if performed by trained specialists.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド多様体、特に SO(3) 上の関数的データに対する推論ツールの不足に取り組むこと。
• リー代数上のノイズと摂動を考慮した SO(3) 上の平均回転曲線推定の統計的に一貫したフレームワークを構築すること。
• 時間的および空間的ずれを考慮しつつ、回転歩行曲線に対する強力な統計的推論（特に2標本検定）を可能にすること。
• 従来のオイラー角ベースの歩行解析がマーカー配置に依存するのを回避し、回転運動の内在的かつ群不変の表現を用いること。
• 一般の条件、非等方的ノイズを含む条件下でも推定量の漸近的整合性と微分可能性を確立すること。

提案手法

• 中心曲線 μ(t) がリー代数上のゼロ平均ガウス過程のリー指数を用いて乗法的に摂動される SO(3) 上のガウス摂動（GP）モデルを提案する。
• 点毎の外在的フレシェ平均（PEM）を推定量として導入し、やや弱い条件下でも強く漸近的に一貫しており、微分可能であることを示す。
• 空間等長変換（恒等写像に接続されたもの）を単位クォータニオンに持ち上げ、空間登録のための新たな損失関数を定義し、恒等写像に接続された空間等長変換の漸近的強く一貫した推定を可能にする。
• 時間的整合化のためのリー群上の標準的損失関数を定義し、平行移動のような非標準的選択を回避するとともに、再パrametrization に対して不変性を保証する。
• 曲線長を検定統計量として用い、群作用の下での登録あり・なしの非パラメトリック2標本順列検定を定式化する。
• 時間的および空間的群作用の下でのGPモデルの等長性を活用し、さまざまな整合条件下でも有効な推論を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(3) 上の関数的データ、特に回転歩行曲線に対して、一貫性と微分可能性を備えた平均曲線推定量を構築できるか？
• RQ2 提案された点毎の外在的フレシェ平均推定量は、一般のノイズモデル（非等方的を含む）のもとで強く漸近的に一貫するか？
• RQ3 内在的かつ群不変の損失関数を用いることで、回転歩行データの時間的および空間的ずれを一貫して推定できるか？
• RQ4 曲線長を用いて、登録あり・なしの両方の状況で、SO(3) 上に非パラメトリック2標本順列検定を定式化できるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、従来のオイラー角ベースの歩行解析が抱えるマーカー配置依存性に対して頑健であるか？

主な発見

• 点毎の外在的フレシェ平均（PEM）曲線は、非等方的ノイズ下でも強く漸近的に一貫しており、ほぼ確実に一意である。これは非ユークリッド統計において稀な性質である。
• ほぼ確実に C¹-正則なガウス摂動モデルに対して、標本 PEM 曲線もほぼ確実に C¹ であることが保証され、微分可能性が確保され、導関数に基づく推論が可能になる。
• 空間登録のための提案された損失関数は、単位クォータニオンに持ち上げることで、恒等写像に接続された空間等長変換の漸近的強く一貫した推定を可能にする。
• 時間的整合化の損失関数はリー群上で標準的であり、平行移動のような非標準的選択を回避し、一貫した時間歪み推定を可能にする。
• 曲線長に基づく2標本順列検定は有効で、性能は時間的および空間的登録を併用することで向上する。
• このフレームワークは奇数 n に対する SO(n) に一般化可能であり、任意のリー群に適用可能である。SO(3) は計算効率とバイオメカニクス分野における関連性の観点から選択された。