[論文レビュー] Functions on surfaces and incompressible subsurfaces

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$ \chi(M) < 0 $ を満たすコンパクトな曲面 $ M $ 上の滑らかな写像 $ f: M \to \mathbb{R} $ もしくは $ S^1 $ に対して、軌道 $ \mathcal{O}(f) $ の基本群が、$ f $ の制限が非自明なインコッパレスな部分曲面（2-ドメイン、シリンダー、またはメービウスのバンド）の基本群の直積に分解されることを確立する。この結果により、セルラーアクチビティとインコッパレスな部分曲面の解析を通じて、軌道空間のホモトピー分類が、より単純な標準的な曲面タイプに還元される。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth connected compact surface and $P$ be either a real line or a circle. This paper proceeds the study of the stabilizers and orbits of smooth functions on $M$ with respect to the right action of the group of diffeomorphisms of $M$. A large class of smooth maps $f:M o P$ with isolated singularities is considered and it is shown that the general problem of calculation of the fundamental group of the orbit of $f$ reduces to the case when the Euler characteristic of $M$ is non-negative. For the proof of main result incompressible subsurfaces and cellular automorphisms of surfaces are investigated.

研究の動機と目的

• 滑らかな写像 $ f: M \to P $（$ P = \mathbb{R} $ もしくは $ S^1 $）に対して $ \chi(M) < 0 $ のとき、基本群 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ の構造を特定すること。
• 軌道空間 $ \mathcal{O}(f) $ のホモトピー分類を、2-ドメイン、シリンダー、またはメービウスのバンドといったより単純な部分曲面の研究に還元すること。
• 基本群 $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ が、$ f $ が非自明に制限されるインコッパレスな部分曲面の基本群の直積に同型であることを確立すること。
• $ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ が $ \pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(M) \oplus \mathbb{Z}^l $ の有限拡張として不完全に記述されていた既存の結果を、$ \mathcal{S}(f) $ の安定化子と軌道のホモトピー型に関する先行研究を拡張すること。

提案手法

• 滑らかな写像の空間 $ \mathcal{C}^\infty(M,P) $ における微分同相群 $ \mathcal{D}(M) $ の右作用を分析し、軌道 $ \mathcal{O}(f) $ と安定化子 $ \mathcal{S}(f) $ を定義する。
• 負のオイラー標数をもつ正則なレベル集合の和集合である $ \mathcal{R}_{<0} $ を導入し、$ X = \overline{M \setminus \mathcal{R}_{<0}} $ として変形リトラクトを構成する。
• インコッパレスな部分曲面の概念を用い、$ \mathcal{S}(f) $ に属する任意の微分同相が、正則なシリンダー上のハミルトニアンフローを介して $ X $ に相対的に恒等写像にホモトープであることを証明する。
• 特に非退化条件の下で $ \mathcal{S}_{\mathrm{id}}(f) $ が収縮可能であるという [10, 12] の結果を応用する。
• 同倫型拡張定理と同倫上昇性質を用いて、任意の $ \mathcal{S}(f) $ の元が $ X $ を固定する微分同相に同倫的であることを示し、問題を $ \overline{M \setminus \mathcal{R}_{<0}} $ の成分に還元する。
• 各連結成分が2-ドメイン、シリンダー、またはメービウスのバンドであることに加え、$ f $ がその成分の境界上で定数であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな写像 $ f: M \to P $ に対して $ \chi(M) < 0 $ のとき、$ \pi_1(\mathcal{O}(f)) $ の正確な構造は何か？
• RQ2 軌道空間の基本群は、より単純な部分曲面の基本群の直積に分解可能か？
• RQ3 軌道空間 $ \mathcal{O}(f) $ がインコッパレスな部分曲面に関連する空間の直積とホモトピー同値となる条件は何か？
• RQ4 セルラーアクチビティとインコッパレスな部分曲面は、$ \mathcal{S}(f) $ の同倫型クラス構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 軌道空間 $ \mathcal{O}(f) $ のホモトピー型は、どの程度まで2-ドメイン、シリンダー、メービウスのバンド上の写像の研究に還元可能か？

主な発見

• 滑らかな写像 $ f: M \to P $ に対して $ \chi(M) < 0 $ のとき、軌道 $ \mathcal{O}(f) $ の基本群は、$ G_1 \times \cdots \times G_n $ の形の直積に同型である。ここで各 $ G_i $ は、$ M $ のインコッパレスな部分曲面 $ B_i \subset M $ への $ f $ の制限の基本群である。
• 各部分曲面 $ B_i $ は2-ドメイン、シリンダー、またはメービウスのバンドであり、$ f|_{B_i} $ は $ B_i $ 上で非定数である。
• 軌道空間 $ \mathcal{O}(f) $ は、$ f|_{B_i} $ に関連する軌道空間の直積と同一のホモトピー型を持つ。これは、$ \mathcal{S}(f) $ がこれらの部分曲面に支持される成分に分解されることに起因する。
• 与えられた条件下で、安定化子の単位成分 $ \mathcal{S}_{\mathrm{id}}(f) $ は収縮可能であり、[10, 12] の先行結果と整合的である。
• $ \mathcal{O}(f) $ は $ i \geq 3 $ に対して $ \pi_i(\mathcal{O}(f)) = \pi_i(M) $ を満たし、$ \pi_2(\mathcal{O}(f)) = 0 $ である。これは、以前のホモトピー型に関する結果を確認する。
• 任意の $ h \in \mathcal{S}(f) $ の同倫型は、$ \overline{M \setminus \mathcal{R}_{<0}} $ 内の正則なシリンダー上のハミルトニアンフローの合成として実現可能であり、これにより部分曲面ダイナミクスへの還元が可能となる。