[論文レビュー] Functorial LCH for immersed Lagrangian cobordisms

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、錐型リーマン・コボルドィズムを用いた新規フレームワークを導入することで、正確なラグランジュ・コボルドゥズムの埋め込みから、自己同型的ラグランジュ・コボルドゥズムへのリーマン接触ホモロジー（LCH）DGAの函手性を拡張する。正の端からコボルドゥズムに関連する新しいDGAへのDGA写像の図式と、コボルドゥズムDGAから負の端への写像を介して、埋め込みの不変性を示し、単一の二重点を持つ埋め込みによるフィルティングでのみ実現可能な補完の例を提示する。

ABSTRACT

For $1$-dimensional Legendrian submanifolds of $1$-jet spaces, we extend the functorality of the Legendrian contact homology DG-algebra (DGA) from embedded exact Lagrangian cobordisms, as in \cite{EHK}, to a class of immersed exact Lagrangian cobordisms by considering their Legendrian lifts as conical Legendrian cobordisms. To a conical Legendrian cobordism $Σ$ from $Λ_-$ to $Λ_+$, we associate an immersed DGA map, which is a diagram $$\alg(Λ_+) \stackrel{f}{ ightarrow} \alg(Σ) \stackrel{i}{\hookleftarrow} \alg(Λ_-), $$ where $f$ is a DGA map and $i$ is an inclusion map. This construction gives a functor between suitably defined categories of Legendrians with immersed Lagrangian cobordisms and DGAs with immersed DGA maps. In an algebraic preliminary, we consider an analog of the mapping cylinder construction in the setting of DG-algebras and establish several of its properties. As an application we give examples of augmentations of Legendrian twist knots that can be induced by an immersed filling with a single double point but cannot be induced by any orientable embedded filling.

研究の動機と目的

• 埋め込みから埋め込みでない正確なラグランジュ・コボルドゥズムへのリーマン接触ホモロジー（LCH）DGAの函手性を拡張すること。
• リーマン・コボルドゥズム $\Sigma$ から $\Lambda_{-}$ から $\Lambda_{+}$ への錐型リーマン・コボルドゥズムに対して、$\mathcal{A}(\Sigma)$ と表記される新しいDGAを定義し、固定された計量のもとで錐型リーマン同相写像に関して不変であることを示すこと。
• 埋め込みの一般化として、$\mathcal{A}(\Lambda_{+}) \xrightarrow{f} \mathcal{A}(\Sigma) \xleftarrow{i} \mathcal{A}(\Lambda_{-})$ の形の埋め込みDGA写像を構成し、$f$ はDGA写像、$i$ は包含写像であることを示すこと。
• この構成が、埋め込みラグランジュ・コボルドゥズムを含むラグランジュのカテゴリから、埋め込みDGA写像を含むDGAのカテゴリへの函手を定義することを確立すること。
• 単一の二重点を持つ埋め込みによるフィルティングでのみ実現可能な、リーマン・ツイスト・ノットの補完の例を提供すること。

提案手法

• 埋め込み正確ラグランジュ・コボルドゥズム $L$ を、$\mathrm{Symp}(J^1M) \to T^*(\mathbb{R}_{>0} \times M)$ におけるシンプレクティシズム $\Phi$ を介して、$J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$ 内の錐型リーマン・コボルドゥズム $\Sigma$ に上げる。
• DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$ は、$\mathbb{Z}/2$ 上の自由積 $\mathcal{A}(\Lambda_{-}) * \mathcal{A}(L)$ として定義され、$\partial_\Sigma$ は $\Lambda_{-}$ のリーマン・コードの穴あきと $L$ の二重点における剛体なホロモーフィック・ディスクの数え上げを含む。
• DGA写像 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ は、$\mathbb{R} \times \Lambda_{+}$ に境界を持つ剛体なホロモーフィック・ディスクを、$L$ の二重点または $\Lambda_{-}$ のリーマン・コードの穴あきで数え上げ、ライブニッツ則に従って拡張することで定義される。
• 相対的SFTおよびリーマン接触ホモロジーからのコンパクト性およびグルーピングの結果を用いて、固定された計量のもとで $\Sigma$ の錐型リーマン同相写像に関して微分および写像が不変であることを示す。
• 特定のクラスのほぼ複素構造に対して、ホロモーフィック・ディスク定義と勾配フローツリー（GFT）定義のDGAおよび写像 $f$ の間の同値性を確立する。
• この構成が、$L$ が埋め込みの場合に標準的なDGA写像と一致することを示し、先行研究との整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 埋め込みから埋め込みでない正確なラグランジュ・コボルドゥズムへのリーマン接触ホモロジーDGAの函手性を拡張することは可能か？
• RQ2 埋め込みラグランジュ・コボルドゥズムによって誘導されるDGA写像を捉えるのに適切な代数的構造は何か？
• RQ3 錐型リーマン・コボルドゥズム $\Sigma$ のDGAは、同相写像に関して不変であり、かつ端における標準的なDGAを回復するようにどのように定義できるか？
• RQ4 単一の二重点を持つ埋め込みによるフィルティングでのみ実現可能で、任意の向き付け可能な埋め込みフィルティングでは実現不可能なリーマン・ノットの補完は存在するか？
• RQ5 埋め込みの場合に、ホロモーフィック・ディスク定義のDGAおよびDGA写像は、勾配フローツリー定義と一致するか？

主な発見

• 本稿は、$\Lambda_{-}$ から $\Lambda_{+}$ への錐型リーマン・コボルドゥズム $\Sigma$ に対して、固定された計量のもとで錐型リーマン同相写像に関して不変である well-defined DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$ を構成する。
• 誘導されたDGA写像 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ と包含写像 $i: \mathcal{A}(\Lambda_{-}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ は、埋め込みの一般化としての埋め込みDGA写像図式を形成する。
• この構成は、埋め込みラグランジュ・コボルドゥズムを含むラグランジュのカテゴリから、埋め込みDGA写像を含むDGAのカテゴリへの反変函手を定義する。
• 特定のクラスのほぼ複素構造に対して、ホロモーフィック・ディスク定義と勾配フローツリー定義のDGAおよび写像 $f$ は一致する。
• 本稿は、単一の二重点を持つ埋め込みによるフィルティングでのみ実現可能な、リーマン・ツイスト・ノットの補完の明示的例を提供する。
• $L$ が埋め込みの場合、写像 $f_{\Sigma}$ は埋め込みコボルドゥズムによって誘導される標準的なDGA写像と一致し、先行研究との整合性が確認される。