[論文レビュー] Fundamental PDE's of the Canonical Almost Geodesic Mappings of Type ${ ildeπ}_1$

V. E. Berezovski, Josef Mikeš+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、線形接続を持つ多様体から擬リーマン空間および一般化リッチ対称空間へへの型${\tilde{\pi}}_1$の標準的ほぼ測地線写像の存在を特徴づける、コーシー型の閉じた一階偏微分方程式系（PDE）を確立する。主な貢献は、曲率テンソルと接続係数を含む積分可能PDE系を通じて、このような写像の必要十分条件を提示したことである。これはシンユコフの先行研究を一般化し、解の空間が高々$\frac{1}{6}n(n+1)(2n^3 - 4n^2 + 5n + 3)$個のパラメータに依存することを示している。

ABSTRACT

For modelling of various physical processes, geodesic lines and almost geodesic curves serve as a useful tool. Trasformations or mappings between spaces (endowed with a metric or connection) which preserve such curves play an important role in physics, particularly in mechanics, and in geometry as well. Our aim is to continue investigations concerning existence of almost geodesic mappings of manifolds with linear (affine) connection, particularly of the so-called ${ ilde π}_1$ mappings, i.e. canonical almost geodesic mappings of type $π_1$ according to Sinyukov. First we give necessary and sufficient conditions for existence of ${ ilde π}_1$ mappings of a manifold endowed with a linear connection onto pseudo-Riemannian manifolds. The conditions take the form of a closed system of PDE's of first order of Cauchy type. Further we deduce necessary and sufficient conditions for existence of ${ ilde π}_1$ mappings onto generalized Ricci-symmetric spaces. Our results are generalizations of some previous theorems obtained by N.S. Sinyukov.

研究の動機と目的

• 線形接続を持つ多様体から擬リーマン空間へへの型${\tilde{\pi}}_1$の標準的ほぼ測地線写像の存在に必要な十分条件を同定すること。
• シンユコフの先行研究に基づくほぼ測地線写像の結果を、一般化リッチ対称空間へと拡張すること。
• 存在問題をコーシー型の一階PDE閉系として定式化し、効果的な解の列挙と近似を可能にすること。
• 一般化リッチ対称多様体がこのような写像の像となる際の、パrameterの最大数を導出すること。

提案手法

• 接続および曲率テンソルの構造を用いて、${\tilde{\pi}}_1$写像の存在を制御する共変微分における一階PDE系を導出する。
• 写像の幾何的データを表すテンソル場$P^h_{ij}$および$a_{ij}$を導入し、それらが目標空間の曲率と整合することを示す。
• リーマン曲率テンソル$\bar{R}^h_{jm\ell,i}$の共変微分を用いて、積分可能系(41)を構成し、$R^h_{jm\ell i}$を介して表現する。
• 対称性およびリッチ型の消滅条件を保証する代数的制約(42)を適用：$P^{h}_{ij} = P^{h}_{ji}$、$a_{ij} = a_{ji}$、および$\bar{R}^h_{i(jk)} = 0$、$R^h_{i(jk)\ell} = 0$。
• $\bar{\nabla}$微分から$\nabla$微分への変換を、$P^h_{ij}$および曲率成分を含む補正項を用いて行う。
• 対称性および曲率制約(42)の下で、系(14)、(33)、(40)、および(41)の可積分性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形接続を持つ多様体が、擬リーマン空間へ型${\tilde{\pi}}_1$の標準的ほぼ測地線写像を有するための条件は何か？
• RQ2 このような写像の存在を支配するPDE系は何か？ そして、それは有限パラメータ解を有するコーシー型であるか？
• RQ3 シンユコフの${\tilde{\pi}}_1$写像に関する結果は、一般化リッチ対称目標空間へどのように一般化できるか？
• RQ4 このような写像の像となる一般化リッチ対称多様体の族において、自由パラメータの最大数は何か？
• RQ5 曲率テンソルと接続係数は、写像系の可積分性を保証するためにどのように作用するか？

主な発見

• 線形接続を持つ多様体から擬リーマン空間への${\tilde{\pi}}_1$写像の存在は、コーシー型の一階PDE閉系を解くことに等しい。
• この系は可積分であり、方程式(14)、(33)、(40)、(41)および対称性制約(42)を満たすテンソル場$P^h_{ij}$、$a_{ij}$、$\bar{R}^h_{ijk}$、$R^h_{ijkm}$の存在に依存する。
• 一般化リッチ対称目標空間に対しても、同じ系が${\tilde{\pi}}_1$写像の存在を特徴づける。
• このような写像の解の空間は、(43)に示されるように、高々$\frac{1}{6}n(n+1)(2n^3 - 4n^2 + 5n + 3)$個の実数パラメータに依存する。
• 導出された系は、シンユコフの先行研究を一般化リッチ対称多様体へと拡張することで、シンユコフの結果を一般化している。
• 系の可積分性は、導出された方程式(14)、(33)、(40)、(41)が必要な代数的および微分的制約(42)を満たしていることを検証することで確認された。