[論文レビュー] Fundamentals of submersions and immersions between infinite-dimensional manifolds

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、局所凸空間に倣った無限次元多様体の間の埋め込みと埋め込みに関する基礎的理論を確立し、古典的概念を一般化する $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みの厳密な定義を導入する。バナッハ空間または有限次元の終域に対しては、この定義が自明な埋め込み条件（全射微分かつ補完された核）と一致することを証明し、定数階定理、ファイバー積、および $G/H$ の多様体構造といった重要な道具を構築する。これにより、無限次元リー群準同型とリー理論への応用が可能になる。

ABSTRACT

We define submersions f between manifolds M and N modelled on locally convex spaces. If the range N is finite-dimensional or a Banach manifold, then these coincide with the naive notion of a submersion. We study pre-images of submanifolds under submersions and pre-images under mappings whose differentials have dense image. An infinite-dimensional version of the constant rank theorem is provided. We also construct manifold structures on homogeneous spaces G/H of infinite-dimensional Lie groups. Some fundamentals of immersions between infinite-dimensional manifolds are developed as well.

研究の動機と目的

• 局所凸空間に倣った無限次元多様体の文脈において、埋め込みと埋め込みを定義し、厳密に特徴づけること。
• 自明な埋め込み条件（全射微分かつ補完された核）と、より強い幾何的動機付けに基づく埋め込みの定義との関係を明確にすることで、無限次元微分幾何学における基礎的問題を解決すること。
• 適切な条件下で、無限次元リー群 $G$ と閉部分群 $H$ に対して、同次空間 $G/H$ に $C^r_\mathbb{K}$-多様体構造が存在することを確立すること。
• 定数階定理や逆関数定理などの古典的定理の無限次元版を、この文脈で証明すること。
• ファイバー積や局所的切断といった道具を提供し、無限次元幾何における多様体や写像の構成と解析を可能にすること。

提案手法

• 連続線形射影に連続な右逆を持つような局所的モデルを介して $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みを定義し、幾何的整合性を保証すること。
• 核が無限次元で適切に振る舞うようにするために、コ・バナッハ部分空間（商がバナッハ空間である補完部分空間）の概念を用いること。
• バナッハ空間または有限次元の終域に対しては、自明な埋め込み（全射微分かつコ・バナッハ核）が、より強い埋め込み定義と同値であることを証明すること。
• 恒等元を通る $C^r_\mathbb{K}$-部分多様体 $S \subseteq G$ を特定し、$G$ の開集合で $S \times H \to SH$ が $C^r_\mathbb{K}$-微分同相となるようなものとすることで、同次空間 $G/H$ に多様体構造を構成すること。
• 埋め込みに対して局所的 $C^r$-切断の存在を用いて、無限次元設定における陰関数定理および逆関数定理を適用すること。
• 商位相と群作用の整合性を用いて、$S$ が適切な条件下にあるとき、商写像 $q: G \to G/H$ が $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みであることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所凸空間に倣った無限次元多様体間の $C^r_\mathbb{K}$-写像が幾何的意味での埋め込みであるための条件は何か？ また、これと自明な条件（全射微分かつコ・バナッハ核）との関係は？
• RQ2 無限次元リー群 $G$ 及び閉部分群 $H$ に対して、同次空間 $G/H$ が $C^r_\mathbb{K}$-多様体構造を有するための条件は何か？
• RQ3 定数階定理は無限次元多様体へ拡張可能か？ また、埋め込みの下での部分多様体の逆像が再び部分多様体であるための条件は何か？
• RQ4 無限次元多様体の圏においてファイバー積はどのように振る舞うか？ また、2つの埋め込みのファイバー積が再び多様体であるための条件は何か？
• RQ5 商写像 $q: G \to G/H$ が $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みであるための条件は何か？ また、これと局所的スライスの存在との関係は？

主な発見

• バナッハ空間または有限次元の終域に対しては、$C^r_\mathbb{K}$-埋め込みは自明な埋め込み（全射微分かつコ・バナッハ核）と同値であり、無限次元設定における曖昧さを解消する。
• 任意の $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みは開写像であり、局所的 $C^r_\mathbb{K}$-切断を有するため、終域の多様体構造が埋め込みによって一意に定まる。
• 部分多様体の $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みによる逆像は、$C^r_\mathbb{K}$-部分多様体である。これは古典的な横断的性質の一般化である。
• 無限次元リー群 $G$ 及び閉部分群 $H$ に対して、恒等元を通る $C^r_\mathbb{K}$-部分多様体 $S \subseteq G$ が存在し、$SH$ が $G$ で開かつ $S \times H \to SH$ が $C^r_\mathbb{K}$-微分同相であるとき、同次空間 $G/H$ に $C^r_\mathbb{K}$-多様体構造が存在する。
• 商写像 $q: G \to G/H$ が $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みであるための必要十分条件は、このような局所的スライス $S$ の存在である。これにより、$G/H$ に多様体構造が入るための幾何的基準が得られる。
• 群 $H$ が閉部分群であり、商写像が $C^r_\mathbb{K}$-埋め込みであるとき、$G/H$ 上の群演算は $C^r_\mathbb{K}$ である。$G$ が $C^r_\mathbb{K}$-リー群であれば、$G/H$ は $C^r_\mathbb{K}$-リー群である。