[論文レビュー] Regularity properties of infinite-dimensional Lie groups, and semiregularity

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、局所凸空間に局所的に微分可能に構造を持つ無限次元リー群における $C^k$-正則性および $C^k$-半正則性の十分条件を確立する。$\operatorname{evol}$ が $C^m$ であるための必要十分条件が $\operatorname{Evol}$ が $C^m$ であることであることを証明し、これを応用して任意のパラコンパクトで有限次元の滑らかな多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}(M)$ が $C^1$-正則であることを示し、コンパクトな実解析的多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ が $C^1$-正則であることを示す。主な貢献は、点を分離する滑らかな準同型とバナッハ部分空間における進化連続性を用いた一般化された正則性基準の確立である。

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

研究の動機と目的

• 局所凸空間に局所的に微分可能に構造を持つ無限次元リー群における $C^k$-正則性および $C^k$-半正則性の十分条件を確立すること。
• 進化写像 $\operatorname{evol}$ の滑らかさと写像 $\operatorname{Evol}$ の滑らかさの関係を明確にし、$C^m$-正則性においてそれらが同値であることを示すこと。
• $M$ が $\sigma$-コンパクトでない場合を含め、任意のパラコンパクトで有限次元の滑らかな多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}(M)$ が $C^1$-正則であることを証明すること。
• コンパクトな実解析的多様体 $M$ 上の解析的微分同相群 $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ の $C^1$-正則性を確立すること。
• 一般に、非マケイ完全なモデル空間では正則性が成立しないこと、特に古典的な挙動の持ち上げと分類の性質が破綻することを示す反例を提示すること。

提案手法

• 左不変微分方程式 $\eta'(t) = \eta(t)\cdot\gamma(t)$ で $\eta(0) = e$ を満たす解の存在と $C^{k+1}$-滑らかさを用いて、$C^k$-半正則性の概念を導入する。
• Fréchet型空間における局所的 $C^m$-滑らかさの議論を用いて、$\operatorname{evol}$ が $C^m$ であることと $\operatorname{Evol}$ が $C^m$ であることの同値性を確立する。
• コンパクトな包含写像を持つバナッハ空間の直和極限であるシルバ空間をリー代数にもつリー群の理論に応用する。
• 点を分離する $C^0$-正則リー群への滑らかな準同型の族を用いて、$G$ の正則性を導出する。
• 右進化写像と対称性 $\operatorname{Evol}(-\gamma)^{-1}$ を用いて、左進化から得られた結果を右進化へ拡張する。
• 弱積分の存在条件をマケイ完全性の代理として用い、正則性と進化連続性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 $G$ が局所凸空間に局所的に微分可能に構造を持つとき、進化写像 $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ が滑らかになる条件は何か？
• RQ2 $C^k$-半正則性が $C^k$-正則性を含む条件は何か、特に非マケイ完全な設定下でどうか？
• RQ3 $M$ が $\sigma$-コンパクトでない場合を含め、任意のパラコンパクトで有限次元の滑らかな多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}(M)$ は $C^1$-正則か？
• RQ4 コンパクトな実解析的多様体 $M$ 上の実解析的微分同相群 $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ に対して $C^1$-正則性を確立できるか？
• RQ5 非正則なリー群が非マケイ完全な空間に局所的に微分可能に構造を持つ場合、1パラメータ部分群の存在や、1-連結リー群の一意的分類といった古典的性質が失敗するか？

主な発見

• $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ が $C^m$ であることと、$\operatorname{Evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to C^{k+1}([0,1], G)$ が $C^m$ であることの同値性が確立され、正則性と評価写像の関係に根本的な等価性が示された。
• $M$ が $\sigma$-コンパクトでない場合を含め、任意のパラコンパクトで有限次元の滑らかな多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}(M)$ が $C^1$-正則であることが示され、従来の結果が拡張された。
• コンパクトな実解析的多様体 $M$ に対して $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ が $C^1$-正則であることが、点を分離する準同型とバナッハ部分空間における進化連続性を用いて示された。
• 非マケイ完全な空間に局所的に微分可能に構造を持つ1-連結なアーベルリー群が存在し、その中では非自明な1パラメータ部分群が存在せず、分類が失敗する。
• $\mathfrak{g}$ が列完備であるとき、$G$ が $C^0$-半正則であり、$C^0$-正則群への点を分離する滑らかな準同型が存在するならば、$\operatorname{evol}$ が $0$ で連続であることから、$\operatorname{evol}$ の滑らかさが導かれる。
• 局所凸空間の加法群は、それがマケイ完全であることと同値であり、この性質は $C^r$-曲線に対する弱積分の存在と同値である。