[論文レビュー] Furstenberg transformations on irrational rotation algebras

Hiroyuki Osaka, N. Christopher Phillips|ArXiv.org|Sep 9, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無理数回転C*-代数上の非可換 Furstenberg変換を導入し、1、θ、およびγ がℚ上線形独立であるとき、これらの自己同型はトレース的 Rokhlin 性質を有することを証明する。これにより、対応する交叉積は安定的次元1、実的次元0、および射影の順序がトレースによって決定されることを示す——これは、これらの代数に対してブラックダールの第二基本比較問題を解決する。結果は、5次元の冪零Lie群の離散部分群のC*-代数の単純な商へ拡張され、それらに対しても同様の構造的性質が成り立つことが示された。

ABSTRACT

We introduce a general class of automorphisms of rotation algebras, the noncommutative Furstenberg transformations. We prove that fully irrational noncommutative Furstenberg transformations have the tracial Rokhlin property, which is a strong form of outerness. We conclude that crossed products by these automorphisms have stable rank one, real rank zero, and order on projections determined by traces (Blackadar's Second Fundamental Comparability Question). We also prove that several classes of simple quotients of the C*-algebras of discrete subgroups of five dimensional nilpotent Lie groups, considered by Milnes and Walters, are crossed products of simple C*-algebras (C*-algebras of minimal ordinary Furstenberg transformations) by automorphisms which have the tracial Rokhlin property. It follows that these algebras also have stable rank one, real rank zero, and order on projections determined by traces.

研究の動機と目的

• 無理数回転代数A_θにおける非可換Furstenberg変換を定義し、それらを研究すること。
• これらの自己同型がトレース的Rokhlin性質（強い外的性質）を有するための条件を確立すること。
• このような自己同型による交叉積が安定的次元1、実的次元0、およびトレースによって射影の順序が決定されることを証明すること。
• これらの結果を、5次元の冪零Lie群の離散部分群のC*-代数の単純な商へ拡張すること。
• トレース的Rokhlin性質を用いて、広範なC*-代数のクラスに対してブラックダールの第二基本比較問題を解決すること。

提案手法

• 生成元uとvに作用する自己同型α_θ,γ,d,fを用いて、回転代数A_θ上にFurstenberg変換を定義する。
• 1、θ、γ がℚ上線形独立であるとき、GNS構成と型II₁因子上の誘導自己同型の非周期性に基づく基準を用いて、α_θ,γ,d,f がトレース的Rokhlin性質を有することを証明する。
• トレース的Rokhlin性質を用いて、交叉積C*(ℤ, A_θ, α) が安定的次元1、実的次元0、およびトレースが射影の順序を決定することを導出する。
• MilnesとWaltersのC*-代数A_θ^5,3、A_θ^5,6、およびA_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε) を分析し、それらが最小Furstenberg変換の単純C*-代数と、トレース的Rokhlin性質を有する自己同型による交叉積として実現されることを示す。
• GNS表現における自己同型の外的性質を確認するため、トレース的Rokhlin性質の基準を適用し、性質が成立することを証明する。
• トレース的次元0およびトレース的Rokhlin性質を有するC*-代数に関する既知の結果を用いて、安定的次元1および実的次元0などの構造的性質を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無理数回転代数上の非可換Furstenberg変換がトレース的Rokhlin性質を有するのはどのような条件下か？
• RQ2 トレース的Rokhlin性質が成り立つ場合、そのような自己同型による交叉積がどのような構造的性質を有するか？
• RQ3 5次元の冪零Lie群から生じるC*-代数A_θ^5,3およびA_θ^5,6は、トレース的Rokhlin性質を有する交叉積として実現可能か？
• RQ4 5次元の冪零Lie群の離散部分群のC*-代数の単純な商は、安定的次元1および実的次元0を有するか？
• RQ5 ブラックダールの第二基本比較問題が提起したように、これらのC*-代数における射影の順序はトレースによって決定されるか？

主な発見

• 1、θ、γ がℚ上線形独立であるとき、A_θ 上の自己同型α_θ,γ,d,f はトレース的Rokhlin性質を有する。
• 交叉積C*(ℤ, A_θ, α_θ,γ,d,f) は安定的次元1および実的次元0を有する。
• C*(ℤ, A_θ, α_θ,γ,d,f) における射影の順序は完全にトレースによって決定される。
• C*-代数A_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε) は、最小Furstenberg変換の単純C*-代数と、トレース的Rokhlin性質を有する自己同型による交叉積と同型である。
• C*-代数A_θ^5,6 は、最小Furstenberg変換の単純C*-代数と、トレース的Rokhlin性質を有する自己同型による交叉積と同型である。
• A_θ^5,3、A_θ^5,6、およびA_θ^5,3(α,β,γ,δ,ε) は、すべて安定的次元1、実的次元0、一意なトレース状態を有し、トレースが射影の順序を決定する。