[論文レビュー] Further Studies on the Sparing Number of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グラフの結合とリング和演算における弱整数加法的集合インデクサー（弱IASI）の許容可能性を調査し、そのラベリングが存在する条件を確立するとともに、得られるグラフのモノインデクス付き辺の最小数（スパアリング数）の公式を導出する。主な結果として、2つのサイクルのリング和のスパアリング数の完全な特徴付けが得られ、弱IASIグラフとその部分グラフのリング和におけるスパアリング数の一般公式が導出される。

ABSTRACT

Let $\mathbb{N}_0$ denote the set of all non-negative integers and $\mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ be its power set. An integer additive set-indexer is an injective function $f:V(G) o \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ such that the induced function $f^+:E(G) o \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sum set of $f(u)$ and $f(v)$. If $f^+(uv)=k~\forall~uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexer. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|f^+(uv)|=\max(|f(u)|,|f(v)|)~\forall ~ uv\in E(G)$. In this paper, we study the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and graph operations.

研究の動機と目的

• 2つの弱IASIグラフの結合が弱IASIを許容するための条件を特定すること。
• 特にサイクルを対象として、2つのグラフのリング和のスパアリング数を特徴付けること。
• 弱IASIグラフとその部分グラフのリング和におけるスパアリング数の公式を一般化すること。
• 複雑なグラフ演算における弱IASIの許容性に関する未解決問題を特定すること。
• 頂点および辺の集合ラベルに課される構造的制約を同定し、弱IASI性質を保つこと。

提案手法

• 弱IASIの定義を用い、各辺の集合インデクシング数が両端点の集合インデクシング数の最大値に等しいことを要件とする。
• 既知の弱IASIグラフに関する結果を適用し、すべての辺について少なくとも一方の端点がシングルトン集合ラベルを持つことが必要であることを強調する。
• グラフ結合における構造的変化を調査するため、$ G \oplus H $ として定義されるリング和演算（辺集合の対称差）を分析する。
• サイクル長の偶奇および共通辺の数に基づくケース別分析を用い、得られるグラフを分類する。
• $ H $ が $ G $ の部分グラフである場合に限り有効な公式 $ \varphi(G \oplus H) = \varphi(G) - \varphi(H) $ を用いて、$ G \oplus H $ のスパアリング数を導出する。
• サイクルのスパアリング数に関する定理を活用：$ \varphi(C_n) = 0 $（$ n $ が偶数の場合）、$ \varphi(C_n) = 1 $（$ n $ が奇数の場合）

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの弱IASIグラフの結合が弱IASIを許容する条件は何か？
• RQ2 2つのサイクルのリング和のスパアリング数は何か？その値は偶奇性および共通辺の数にどのように依存するか？
• RQ3 弱IASIグラフとその部分グラフのリング和におけるスパアリング数は、それらの個々のスパアリング数の関数として表現可能か？
• RQ4 2つの正則グラフの結合が弱IASIを許容するための必要十分条件は何か？
• RQ5 1つのグラフが完全グラフである場合、スパアリング数はリング和演算においてどのように振る舞うか？

主な発見

• 2つのサイクル $ C_m $ と $ C_n $ のリング和 $ C_m \oplus C_n $ がサイクルとなるのは、2つのサイクルが共通のパス・セグメントを共有する場合に限る。
• もし $ C_m $ と $ C_n $ がともに奇サイクルまたはともに偶サイクルであれば、得られるグラフ $ C_m \oplus C_n $ は偶サイクルとなり、したがってスパアリング数は 0 である。
• もし $ C_m $ と $ C_n $ が偶奇が異なる（片方が奇サイクル、もう片方が偶サイクル）場合、得られるグラフ $ C_m \oplus C_n $ は奇サイクルとなり、したがってスパアリング数は 1 である。
• 弱IASIグラフ $ G $ とその部分グラフ $ H $ のリング和のスパアリング数は、$ H \subseteq G $ を満たす限り、$ \varphi(G \oplus H) = \varphi(G) - \varphi(H) $ で与えられる。
• 2つの弱IASIグラフ $ G_1 $ と $ G_2 $ の結合が弱IASIを許容するための必要十分条件は、$ G_1 $ と $ G_2 $ がそれぞれ独立に弱IASIを許容することである。
• 辺が互いに素な2つの弱IASIグラフの結合のスパアリング数は、それらの個々のスパアリング数の和に等しい。