[論文レビュー] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Operations

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、和、結合、コーナ、補グラフといった特定のグラフ演算が弱整数加法的集合指数化（弱IASI）を許容する条件を調査している。ここで、辺ラベルは頂点ラベルの和集合であり、辺集合指数化番号は両端の頂点の集合指数化番号の最大値に等しい。主な貢献は、サイクルまたは正則グラフの補グラフが弱IASIを許容する条件の特徴付けであり、そのようなグラフにおける単一指数化辺の最小数に対する明確な境界を提示している。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sum set of $f(u)$ and $f(v)$ and $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. A weak integer additive set-indexer $f$ is called a weakly $k$-uniform integer additive set-indexer if $g_f(e)=k \forall e\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak and weakly uniform integer additive set-indexers. In this paper, we study the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations.

研究の動機と目的

• 基本的なグラフ演算が弱整数加法的集合指数化（弱IASI）を許容する条件を特定すること。
• 和、結合、コーナ、補グラフといったグラフ演算におけるスパアリング数（最小単一指数化辺数）を特徴付けること。
• サイクルまたは正則グラフの補グラフが弱IASIを許容する条件を調査し、特に自己補グラフの場合を重点的に検討すること。
• さまざまなグラフクラスおよび演算における弱IASI許容の必要十分条件を確立すること。
• 既存の弱IASIに関する結果を新たなグラフ構成に拡張し、単一指数化辺数に対する定量的境界を導出すること。

提案手法

• 弱IASIを、頂点ラベル関数 $ f: V(G) \to 2^{\mathbb{N}_0} $ が単射であり、誘導される辺ラベル $ g_f(uv) = f(u) + f(v) $ が $ |g_f(uv)| = \max(|f(u)|, |f(v)|) $ を満たすものとして定義する。
• スパアリング数 $ \varphi(G) $、つまり弱IASIを実現するための最小単一指数化辺数を用いる。
• 既知の結果を適用する：グラフが弱IASIを許容するための必要十分条件は、それが二部グラフであるか、少なくとも1つの単一指数化辺を有することである。奇数長のサイクルは少なくとも1つの単一指数化辺を必要とする。
• 成分グラフの頂点ラベルを組み合わせることでグラフ演算を分析し、共通部分集合における一貫性と辺ラベルの単射性を保証する。
• 補グラフにおける単一指数化辺数の境界を、$ r $-正則グラフに対して $ \varphi(\bar{G}) \geq \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ という式を用いて導出する。
• 自己補グラフ性と次数制約を用いて、単一指数化辺数の最小値を導出し、$ r $-正則自己補グラフに対しては $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの弱IASIグラフの和が弱IASIを許容する条件は何か？ そのスパアリング数はどのように決定されるか？
• RQ2 2つの弱IASIグラフの結合が弱IASIを許容する条件は何か？ その結果得られるスパアリング数は何か？
• RQ3 サイクル $ C_n $ と $ \bar{C}_n $ がともに弱IASIを許容するとき、$ \bar{C}_n $ における最小単一指数化辺数は何か？
• RQ4 $ r $-正則グラフ $ G $ に対して、$ \bar{G} $ が弱IASIを許容する場合、$ \bar{G} $ における最小単一指数化辺数は何か？
• RQ5 自己補グラフ性は、弱IASIグラフおよびその補グラフにおける単一指数化辺数にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 2つの弱IASIグラフ $ G_1 $ と $ G_2 $ の和 $ G_1 \cup G_2 $ が弱IASIを許容するための必要十分条件は、$ G_1 $ と $ G_2 $ がともに弱IASIグラフであることである。
• 和のスパアリング数は $ \varphi(G_1 \cup G_2) = \varphi(G_1) + \varphi(G_2) - \varphi(G_1 \cap G_2) $ で与えられ、重複する単一指数化辺を補正する。
• サイクル $ C_n $ の補グラフ $ \bar{C}_n $ が弱IASIを許容するための必要十分条件は、$ C_n $ に1より大きい集合指数化番号を持つ頂点が高々1つであることである。
• サイクル $ C_n $ と $ \bar{C}_n $ がともに弱IASIグラフであるとき、$ \bar{C}_n $ における最小単一指数化辺数は $ \frac{1}{2}n(n-3) $ である。
• $ r $-正則グラフ $ G $ に対して、$ \bar{G} $ が弱IASIを許容するならば、$ \bar{G} $ には少なくとも $ \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ 個の単一指数化辺が存在する。
• 自己補グラフである $ r $-正則グラフ $ G $ に対して、$ G $ と $ \bar{G} $ はともに少なくとも $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ 個の単一指数化辺を含む。