[論文レビュー] Fusion Algebras and Characters of Rational Conformal Field Theories

Wolfgang Eholzer|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、合同部分群を核とするモジュラー群表現からヴェルリンクの公式を用いて定義される強モジュラー融合代数を導入し、次元23まで非退化な場合を分類する。また、有理的W代数モデルの共形的特徴関数が中心電荷と共形次元によって完全に決定されることを示し、格子からのシータ級数を用いて、最小限のデータから特徴関数を再構成する体系的な手法を提供する。

ABSTRACT

We introduce the notion of (nondegenerate) strongly-modular fusion algebras. Here strongly-modular means that the fusion algebra is induced via Verlinde's formula by a representation of the modular group whose kernel contains a congruence subgroup. Furthermore, nondegenerate means that the conformal dimensions of possibly underlying rational conformal field theories do not differ by integers. Our first main result is the classification of all strongly-modular fusion algebras of dimension two, three and four and the classification of all nondegenerate strongly-modular fusion algebras of dimension less than 24. Secondly, we show that the conformal characters of various rational models of W-algebras can be determined from the mere knowledge of the central charge and the set of conformal dimensions. We also describe how to actually construct conformal characters by using theta series associated to certain lattices. On our way we develop several tools for studying representations of the modular group on spaces of modular functions. These methods, applied here only to certain rational conformal field theories, are in general useful for the analysis rational models.

研究の動機と目的

• モジュラー群表現からヴェルリンクの公式を用いて融合則を導く強モジュラー融合代数を定義・研究すること。ただし、その核に合同部分群が含まれる。
• 次元24未満のすべての非退化強モジュラー融合代数を分類すること。非退化性とは、共形次元の差が整数でないことを意味する。
• 有理的共形場理論、特にW代数モデルの共形的特徴関数が、中心電荷と共形次元のみから再構成可能であることを示すこと。
• 有理的共形場理論に適用可能な、モジュラー関数空間上のモジュラー群表現を分析するためのツールを開発すること。
• 特定の格子に関連するシータ級数を用いて、共形的特徴関数を構成的に生成する手法を提供すること。

提案手法

• 核に合同部分群を含むモジュラー群表現にヴェルリンクの公式を適用することで、強モジュラー融合代数を定義する。
• 非退化性の条件を用いて、共形次元の差が整数である融合代数を除外し、適切に振る舞う特徴関数理論を保証する。
• 次元2, 3, 4の融合代数に対して分類技術を適用し、次元24未満のすべての非退化ケースに拡張する。
• 整数格子に付随するシータ級数を用いて共形的特徴関数を構成し、モジュラー不変性と変換性を活用する。
• モジュラー群SL(2,Z)の表現理論を、モジュラー関数空間上に適用し、特徴関数と融合則の構造を分析する。
• モジュラーS行列とその性質を活用して、有理的共形場理論の整合性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの融合代数が合同部分群を核とするモジュラー群表現から生じるか。また、それらをどのように分類できるか。
• RQ2 非退化性（共形次元の差が整数でない）は、有理的共形場理論の構造にどのような制約を課えるか。
• RQ3 有理的W代数モデルのすべての共形的特徴関数は、中心電荷と共形次元の集合のみから再構成可能か。
• RQ4 格子のシータ級数をどのように用いて、有理的共形場理論におけるモジュラー不変特徴関数を明示的に構成できるか。
• RQ5 有理的共形場理論のモジュラー関数空間上のモジュラー群表現を分析するための一般的なツールをどのように開発できるか。

主な発見

• 次元24未満のすべての非退化強モジュラー融合代数が完全に分類され、改訂版で追加された例外ケースも含む。
• 有理的W代数モデルの共形的特徴関数は、中心電荷と共形次元の集合によって一意に決定され、追加のデータは不要である。
• 整数格子に付随するシータ級数を用いて特徴関数を明示的に構成し、モジュラー不変特徴関数を体系的かつ代数的に生成する手法を提供する。
• 次元2, 3, 4の低次元融合代数の分類により、強モジュラー条件の下で有限かつ完全に記述可能な融合則の集合が明らかになった。
• モジュラー群表現のアプローチにより、有理的共形場理論を統一的に分析するフレームワークが得られ、W代数を超えた応用が可能である。
• 合同部分群を保つモジュラー表現にヴェルリンクの公式を適用すると、整合的で物理的に意味のある融合則が得られることを示した。