[論文レビュー] G-automata, counter languages and the Chomsky hierarchy

Murray Elder|ArXiv.org|Aug 9, 2005

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限生成群 G の語問題の計算量的複雑さと、その G-オートマトンが認識する言語クラスとの根本的な関係を確立する。群 G の語問題が言語クラス M（例：文脈依存、インデックス付き）に属するならば、G-オートマトンが認識する任意の言語も M に属することを証明する。主な結果として、カウンタ言語—ℤⁿ-オートマトンが認識する言語—は文脈依存的であり、ℤⁿ の語問題がインデックス付きであるときかつそのときに限りインデックス付きであることが示される。

ABSTRACT

We consider how the languages of $G$-automata compare with other formal language classes. We prove that if the word problem of a group $G$ is accepted by a machine in the class $\mathcal M$ then the language of any $G$-automaton is in the class $\mathcal M$. It follows that the so called {\emph counter languages} (languages of $\mathbb Z^n$-automata) are context-sensitive, and further that counter languages are indexed if and only if the word problem for $\mathbb Z^n$ is indexed.

研究の動機と目的

• 群の語問題の計算量的複雑さクラスと、その G-オートマトンが認識する言語クラスとの間の一般対応を確立すること。
• カウンタ言語—ℤⁿ-オートマトンが認識する言語—がチョムスキー階層内での位置を明確にすること。
• ℤⁿ の語問題の複雑さを分析することで、カウンタ言語がインデックス付きかどうかを調査すること。
• 群論的性質が形式的言語クラスに与える制約を理解するための理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• G-オートマトンを、辺ラベルに群の元を用いた有限状態機械として定義し、受理には入力語の一致に加え、群の積が単位元に等しい必要があることを条件とする。
• 群 G の語問題を受理する M-機械 N と G-オートマトン P からなる合成機械 M を構築し、状態空間と遷移規則を統合する。
• 群の積条件を用いて語問題の検査をシミュレートすることで、M が受理する言語が P が受理する言語と一致することを証明する。
• 言語クラスの有限状態積構成による閉包性を活用し、語問題の複雑さを G-オートマトン言語に移す。
• バーチャルフリー群やノルム群などの既知の語問題の結果を用いて、それらの G-オートマトンの言語クラスへの帰結を導出する。
• 主定理を ℤⁿ の特殊な場合に適用し、カウンタ言語が文脈依存的であり、かつ ℤⁿ の語問題がインデックス付きであるときかつそのときに限りインデックス付きであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G-オートマトンの言語が与えられた形式的言語クラス M に含まれる条件は何か？
• RQ2 群 G の語問題の複雑さは、G-オートマトンが認識する言語の複雑さをどのように制約するか？
• RQ3 カウンタ言語（ℤⁿ-オートマトンが認識する言語）は文脈依存的か、インデックス付きか？
• RQ4 ℤⁿ の語問題はインデックス付きか？ そしてそれはカウンタ言語クラスにどのような含意を持つのか？
• RQ5 カウンタ言語のインデックス付き性は、ℤⁿ の語問題への還元によって決定可能か？

主な発見

• 有限生成群 G の語問題が言語クラス M に属するならば、G-オートマトンが認識する任意の言語も M に属する。
• ℤⁿ-オートマトンが認識するカウンタ言語は、ℤⁿ の語問題が文脈依存的であるため、文脈依存的である。
• すべての n ≥ 1 に対して、カウンタ言語はインデックス付きであるためかつそのときに限り、ℤⁿ の語問題がインデックス付きである。
• ℤⁿ の語問題がインデックス付きであるかどうかは、まだ明らかでないが、関連する言語 L の複雑さに基づいて、論文はそれがそうではないと予想している。
• L = {xⁿwₙ | n ∈ ℕ, wₙ ∈ Lₙ(y,z)}—ℤ² の語問題の断片—は、ℤ² の語問題がインデックス付きでないことを示す候補として提示されている。
• G-オートマトンと語問題の M-機械からなる合成機械 M の構築は、言語クラスの属性を移す一般的手法を提供する。