[論文レビュー] G-bundles, isomonodromy and quantum Weyl groups

Philip Boalch|ArXiv.org|Aug 22, 2001

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、不規則特異点をもつG-バンドル上の有理型接続の等モノドロミー変形が、量子ウェイル群作用の幾何的起源を明らかにし、De Concini, Kac, Procesiの量子ウェイル群作用の古典的極限と一致する、双対ポアソン＝リー群G*上の braid 群のポアソン作用を生じることを示している。主な結果は、2次極をもつ接続のモジュライ空間における平坦接続のモノドロミーを通じた、これらの量子群対称性の実現である。

ABSTRACT

First an `irregular Riemann-Hilbert correspondence' is established for meromorphic connections on principal G-bundles over a disc, where G is any connected complex reductive group. Secondly, in the case of poles of order two, isomonodromic deformations of such connections are considered and it is proved that the classical actions of quantum Weyl groups found by De Concini, Kac and Procesi do arise from isomonodromy (and so have a purely geometrical origin). Finally a certain flat connection appearing in work of De Concini and Toledano Laredo is derived from isomonodromy, indicating that the above result is the classical analogue of their conjectural Kohno-Drinfeld theorem for quantum Weyl groups.

研究の動機と目的

• 複素再帰的群Gに対するGLnへのJimbo-Miwa-Uenoの等モノドロミー理論の一般化。
• 不規則特異点をもつG-バンドル上の有理型接続のG値ストークス現象の理解。
• De Concini-Kac-Procesiの古典的量子ウェイル群作用が、平坦接続のホロノミーを通じて等モノドロミーから自然に生じることの証明。
• 等モノドロミーのハミルトニアンと、De Concini-Toledano Laredoの研究に現れる平坦接続を結びつけることで、量子ウェイル群のKohno–Drinfeld定理の古典的類似の可能性を示唆。

提案手法

• 単一の2次極をもつ単位円板上の一般な有理型G-バンドル接続のモジュライ空間Mを構成。
• 不規則なリーマン＝ヒルベルト対応を用いて、局所的モジュライをG値ストークス乗数の言語で記述し、GLnに対するBalser-Jurkat-Lutzの一般化を達成。
• カルタン部分代数の正則部分集合t_regを基とするファイバー束M → t_regに、平坦な等モノドロミー接続を定義。
• この接続のホロノミーが、ファイバーM(A0)（G*と同一視可能）にbraid群の純粋部分群P_gのポアソン作用を誘導することを示す。
• t_reg/W上のねじれバンドルM' → t_reg/Wに平坦接続を構成し、そのホロノミーが全braid群B_g作用を与える。
• このB_g作用が、De Concini-Kac-Procesiの量子ウェイル群作用の古典的極限と一致することを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則特異点をもつ接続について、等モノドロミー変形理論をGLnから任意の複素再帰的群Gに拡張することは可能か？
• RQ2 不規則特異点をもつ有理型G-接続の局所的モジュライ空間の幾何的・代数的構造は何か？
• RQ3 De Concini-Kac-Procesiの古典的量子ウェイル群作用は、等モノドロミーのような幾何的構成から自然に生じるか？
• RQ4 量子ウェイル群のKohno–Drinfeld定理の古典的類似は存在するか？ もし存在するならば、等モノドロミーによってどのように実現されるか？
• RQ5 モノドロミー写像ν: g* → G*は、g*に標準的な複素ポアソン構造、G*にその標準的ポアソン＝リー構造（スケーリング係数2πi）を施したとき、ポアソン写像としての性質をもつか？

主な発見

• ねじれバンドルM' → t_reg/W上の等モノドロミー接続のホロノミーは、G*上に全braid群B_gのポアソン作用を誘導し、これはDe Concini, Kac, Procesiの量子ウェイル群作用の古典的極限と一致する。
• g*に標準的な複素ポアソン構造、G*にその標準的ポアソン＝リー構造（スケーリング係数2πi）を施したとき、モノドロミー写像ν: g* → G*はポアソン写像である。
• A0が純虚数のとき、モノドロミー写像はν|k*: k* → K*に制限され、K*に倣う実解析的ポアソン微分同相を実現し、コンact実形式の双対とそのポアソン＝リー双対とのGinzburg–Weinstein同型を実現する。
• モノドロミー写像νは、g*上のコadjoint作用とG*上の左/右ドレッシング作用に関してT-不変であり、すべてのGinzburg–Weinstein同型はT_K-不変である。
• 等モノドロミーのハミルトニアンは平坦接続を生成し、De Concini, Millson, Toledano Laredoが研究した接続と一致する。これは、量子ウェイル群のKohno–Drinfeld定理の古典的類似の可能性を示唆する。
• G=SL3(C)の場合、等モノドロミー方程式はPainlevé VI方程式の全族と同値であり、その一般解は新たな超越関数を含むため、モノドロミー写像の複雑さを示している。