[論文レビュー] G-Character varieties for G=SO(n,C) and other not simply connected groups

Adam S. Sikora|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単連結でない群のための $ϳ(n,\mathbb{C})$-特徴的多様体を調査し、$G$-および $G/H$-特徴的多様体の間の関係を、$G$ の有限中心部分群 $H$ に対して確立する。$ϳ[SO(4,\mathbb{C})](F_2)$ の座標環 $ϳ[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の有限生成集合を提供し、全トレース代数 $ϳ_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$ が全座標環より厳密に小さいことを証明し、$SO(2n,\mathbb{C})$-多様体におけるトレース関数の生成に関する重要な問題を解決する。

ABSTRACT

We describe the relation between G-character varieties, $X_G(Γ)$, and $G/H$-character varieties, where $H$ is a finite, central subgroup of $G.$ In particular, we find finite generating sets of coordinate rings $C[X_{G/H}(Γ)]$ for classical groups $G$ and $H$ as above. Using this approach we find an explicit description of $C[X_{SO(4,C)}(F_2)]$ for the free group on two generators, $F_2.$ In the second part of the paper, we prove several properties of SO(2n,C)-character varieties. This is a particularly interesting class of character varieties because unlike for all other classical groups G, the coordinate rings $C[X_{G}(Γ)]$ are generally not generated by trace functions $τ_γ$, for $γ\in Γ$, for G=SO(2n,C). In fact, we prove that the coordinate ring $C[X_{SO(2n,C)}(Γ)]$ is not even generated by "generalized trace functions," $τ_{γ,V},$ for all $γ\in Γ$ and all representations $V$ of $SO(2n,C)$ for $n=2$ and groups $Γ$ of corank $\geq 2$.

研究の動機と目的

• 単連結でない群、たとえば $SO(n,\mathbb{C})$ のような群の $G$-特徴的多様体の構造を理解すること。これは、トレース関数によって完全に捉えられていない。
• 群 $G$ の有限中心部分群 $H$ に対して、$G$-特徴的多様体と $G/H$-特徴的多様体の間の一般的な関係を確立すること。
• 自由群 $F_2$ 上の二生成子について、座標環 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ を明示的に記述すること。
• 全トレース代数 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$ が全座標環 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$ を生成するかどうか、$n=2$ および $\Gamma$ のコランク $\geq 2$ の場合に解決すること。

提案手法

• 群 $SO(4,\mathbb{C}) \cong (SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}))/\mathbb{Z}/2$ の同型を用いて、$SL(2,\mathbb{C})$ からの特徴的多様体を商構成により $SO(4,\mathbb{C})$ に持ち上げる。
• $G$-表現の構造と $H$ の作用による不変量を用いて、$\mathbb{C}[X_{G/H}(\Gamma)]$ の有限生成集合を構成する。特に古典的群に対して。
• 一般化されたトレース関数 $\tau_{\gamma,V}$ を定義し、それらが座標環 $\mathbb{C}[X_G(\Gamma)]$ の生成に果たす役割を分析する。
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の主要な生成元の線形独立性を示すために、トレース代数の次数付けを用いる。
• $\Gamma \to F_2$ の全射を用いて、$F_2$ からの結果をコランクの高い群へ持ち上げ、トレース代数の拡張が真に拡大されることを示す。
• $X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2) \times X_{SL(2,\mathbb{C})}(F_2)$ の $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$-同変構造を活用し、座標環を分解し、$SO(4,\mathbb{C})$-特徴的多様体の生成元を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n=2$ および $\Gamma$ のコランク $\geq 2$ の場合に、全トレース代数 $\mathcal{FT}_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)$ が全座標環 $\mathbb{C}[X_{SO(2n,\mathbb{C})}(\Gamma)]$ を生成するか。
• RQ2 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の座標環は、すべての $\gamma \in F_2$ およびすべての $SO(4,\mathbb{C})$-表現 $V$ についての一般化されたトレース関数 $\tau_{\gamma,V}$ で生成可能か。
• RQ3 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の明示的な有限生成集合は何か。
• RQ4 $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の生成元が $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-加群として、トレース代数上で線形独立か。
• RQ5 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の拡張は真か。

主な発見

• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ は、$1$ および $1 \leq i \leq j \leq 2$ の $Q_4(\gamma_i, \gamma_j)$ の関数、加えて積や逆元を含む四つの追加の $Q_4$-関数からなる $\mathcal{T}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-加群として生成される。
• 全トレース代数 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$ は $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ よりも厳密に小さい。これは、生成元 $Q_4(\gamma_1, \gamma_2)$、$Q_4(\gamma_1\gamma_2^{-1}, \gamma_2)$、$Q_4(\gamma_2\gamma_1^{-1}, \gamma_1)$ が重複していないことから示される。
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ を $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-加群として生成する生成元は、次数 3 で代数的に独立であり、これにより、どの生成元も他の生成元の $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)$-線形結合に属さないことが証明される。
• $\Gamma$ のコランク $\geq 2$ の場合、拡張 $\mathcal{FT}_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma) \subset \mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(\Gamma)]$ は真である。これは $F_2$ の場合の結果が全射を介して持ち上げられるからである。
• $\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ は、$SO(4,\mathbb{C})$ に対しては、トレース関数 $\tau_\gamma$ のみ、あるいは一般化されたトレース関数 $\tau_{\gamma,V}$ のみでは生成されない。他の古典的群とは異なり、この性質が成り立つ。
• 本稿は、$\mathbb{C}[X_{SO(4,\mathbb{C})}(F_2)]$ の有限生成集合を提供し、$Q_4$-関数およびトレース不変量の観点から生成元を明示的に列挙している。