[論文レビュー] $G$-invariant Szegö kernel asymptotics and CR reduction

Chin-Yu Hsiao, Rung-Tzung Huang|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、トランスバーサルな $S^1$ アクションをもつコンパクトなCR多様体上の $G$-不変Szegőカーネルが、CRモーメント写像 $\mu^{-1}(0)$ のゼロレベル集合を除いて滑らかであり、$m \to \infty$ のときの $m$-番目のフーリエ成分について漸近展開が得られることを確立する。主な結果として、十分大きな $m$ に対して、量子化と還元が可換であることが示され、$X$ 上の $G$-不変調和形式の次元が、還元空間 $Y_G$ のそれと等しいことが確認され、幾何的量子化予想の等長的バージョンが裏付けられる。

ABSTRACT

Let $(X, T^{1,0}X)$ be a compact connected orientable CR manifold of dimension $2n+1$ with non-degenerate Levi curvature. Assume that $X$ admits a connected compact Lie group action $G$. Under certain natural assumptions about the group action $G$, we show that the $G$-invariant Szegö kernel for $(0,q)$ forms is a complex Fourier integral operator, smoothing away $μ^{-1}(0)$ and there is a precise description of the singularity near $μ^{-1}(0)$, where $μ$ denotes the CR moment map. We apply our result to the case when $X$ admits a transversal CR $S^1$ action and deduce an asymptotic expansion for the $m$-th Fourier component of the $G$-invariant Szegö kernel for $(0,q)$ forms as $m o+\infty$. As an application, we show that if $m$ large enough, quantization commutes with reduction.

研究の動機と目的

• 連結なコンパクトなリー群作用をもつコンパクトなCR多様体上での $G$-不変Szegőカーネルの微局所的構造を確立すること。
• CRモーメント写像 $\mu$ のゼロレベル集合 $\mu^{-1}(0)$ の近傍における $G$-不変Szegőカーネルの特異性を分析すること。
• トランスバーサルな $S^1$ アクションの下で、$m \to \infty$ のときの $G$-不変Szegőカーネルの $m$-番目のフーリエ成分についての漸近展開を導出すること。
• 十分大きな $m$ に対して、$X$ 上の $G$-不変調和 $(0,q)$-形式の次元が、CR還元空間 $Y_G$ 上の調和形式の次元と一致することを証明し、量子化が還元と可換であることを確認すること。

提案手法

• 微局所解析と停留位相法を用いて、$m$-番目のフーリエ成分の漸近展開を導出する。
• $m$ におけるシンボル展開を用いたパラメトリックスの構成により、$G$-不変Szegőカーネルの近似を構築し、主シンボルが $\mu^{-1}(0)$ の近傍に台を持つようにする。
• CRモーメント写像 $\mu$ を用いて還元空間 $Y_G = \mu^{-1}(0)/G$ を定義し、これが量子化写像のターゲットとして機能することを示す。
• スペクトル推定を用いて、十分大きな $m$ に対して、$X$ 上の $G$-不変調和形式と $Y_G$ 上の調和形式との間にユニタリ同値が成立することを確立する。
• 還元写像 $\sigma_m$ の単射性と、最終的な同型性を証明する。$\|R_m\| \to 0$ ($m \to \infty$) を示すことにより、$\dim H^q_{b,m}(X)^G = \dim H^{q-r}_{b,m}(Y_G)$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CRモーメント写像のゼロファイバー $\mu^{-1}(0)$ の近傍において、$G$-不変Szegőカーネルはどのように微局所的に振る舞うか？
• RQ2 トランスバーサルな $S^1$ アクションの下で、$m \to \infty$ のときの $G$-不変Szegőカーネルの $m$-番目のフーリエ成分の漸近的構造は何か？
• RQ3 十分大きな $m$ に対して、$X$ 上の $G$-不変調和 $(0,q)$-形式の空間の次元は、還元空間 $Y_G$ のそれと一致するか？
• RQ4 $G$-不変Szegőカーネルは、正確な特異性構造を持つ複素フーリエ積分作用素として記述可能か？
• RQ5 高周波数極限において、$G$-不変Szegőカーネルはどの程度還元空間 $Y_G$ に集中するか？

主な発見

• $(0,q)$-形式に対する $G$-不変Szegőカーネルは、複素フーリエ積分作用素であり、$\mu^{-1}(0)$ を除いて滑らかで、$\mu^{-1}(0)$ の近傍での正確な特異性構造を持つ。
• $G$-不変Szegőカーネルの $m$-番目のフーリエ成分は、$m \to \infty$ において漸近展開をもつ。主項は $S^{n - d/2}$ に属するシンボルと位相関数 $\Psi$ によって決定される。
• 還元写像における剰余作用素 $R_m$ は、$\|R_m\| \to 0$ ($m \to \infty$) を満たし、$I + R_m$ が十分大きな $m$ に対して単射であることを示す。
• 十分大きな $m$ に対して、写像 $\sigma_m: H^q_{b,m}(X)^G \to H^{q-r}_{b,m}(Y_G)$ は同型である。これにより、$\dim H^q_{b,m}(X)^G = \dim H^{q-r}_{b,m}(Y_G)$ が成立する。
• 量子化が還元と可換であることは、十分大きな $m$ に対して成り立ち、$X$ 上の $G$-不変調和空間と還元空間 $Y_G$ の次元が等しいことを意味する。
• カーネルの主シンボル $\hat{g}_0(x,y)$ は、すべての $x_0 \in \mu^{-1}(0) \cap U$ に対して、$|\hat{g}_0(x,y)| \leq C |(x,y) - (x_0,x_0)|^{2^{N+1}}$ を満たす。これにより、スペクトル推定における剰余の減衰が保証される。