[論文レビュー] G-Lévy Processes under Sublinear Expectations

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、非線形期待の枠組みにおいてG-レヴィ過程を導入し、分布的不確実性を扱えるように古典的レヴィ過程を一般化する。G-レヴィ・キンチンの公式を確立し、非線形積分微分方程式の粘性解を用いてG-レヴィ過程の存在を証明する。Gポアソン過程が主要な例として提示され、モデルの不確実性下での直接的構成法が提供される。

ABSTRACT

We introduce G-Lévy processes which develop the theory of processes with independent and stationary increments under the framework of sublinear expectations. We then obtain the Lévy-Khintchine formula and the existence for G-Lévy processes. We also introduce G-Poisson processes.

研究の動機と目的

• 非線形期待の下で独立かつ定常増分を有するレヴィ過程の理論を構築し、古典的確率過程を分布的不確実性をモデル化できるように拡張すること。
• 非線形積分微分方程式を用いて、その分布を一般化された古典的レヴィ・キンチンの公式で特徴付けること。
• 非線形放物型積分微分方程式の解としてG-レヴィ過程の存在を確立すること。
• モデル不確実性下でのG-ポアソン過程をG-レヴィ過程の特殊な場合として導入し、その分析を行うこと。
• 古典的手法と比較して簡素化された直接的構成法を提示すること。粘性解理論を活用する。

提案手法

• 本稿は、非線形期待空間における独立かつ定常増分を有する確率過程としてG-レヴィ過程を定義し、Gブラウン運動の一般化として扱う。
• 生成子を非線形レヴィ測度を含む非線形積分微分作用素として特徴付けることで、G-レヴィ・キンチンの公式を導出する。
• 生成子が非線形関数Gによって定義される非線形放物型積分微分方程式の粘性解を構築することで、G-レヴィ過程の存在を証明する。
• Perronの方法と近似技術を用い、初期データが$C_{b.Lip}(Ω)$に属する場合の存在を確立する。
• 完全非線形PDEの粘性解理論をフレームワークとして用い、生成子Gに関する仮定により、劣加法性と凸性を保証する。
• 生成子の摂動に対する比較原理と安定性結果を用いて、構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形期待空間において、レヴィ過程をどのように一般化すれば分布的不確実性をモデル化できるか？
• RQ2 非線形期待の下で、古典的レヴィ・キンチンの公式の非線形版は何か？
• RQ3 G-レヴィ過程は非線形PDEから直接構成可能か？その条件は何か？
• RQ4 モデル不確実性下で、G-ポアソン過程はG-レヴィ過程の特殊な場合としてどのように現れるか？
• RQ5 関連する非線形PDEの解作用素に対して、劣加法性や凸性といった性質は成立するか？

主な発見

• G-レヴィ・キンチンの公式が導出され、非線形生成子Gを有する非線形積分微分方程式によって、G-レヴィ過程の分布が特徴付けられる。
• 非線形放物型積分微分方程式の粘性解を用いたG-レヴィ過程の存在が確立され、初期データがすべて$C_{b.Lip}(Ω)$に属する場合に解が存在することが示される。
• G-ポアソン過程が、非線形ポアソン型生成子から生じるG-レヴィ過程の具体的な例として明示的に導入される。
• 非線形PDEの解作用素は劣加法性と凸性を満たし、モデル不確実性下でも安定性が保証される。
• 古典的手法と比較して、粘性解理論を活用した直接的かつ簡素化されたG-レヴィ過程の構成法が提供される。
• 線形期待を非線形期待に置き換えることで、古典的レヴィ過程理論を一般化し、ボラティリティおよび分布的不確実性のモデル化が可能になる。