[論文レビュー] G2-structure deformations and warped products

Sergey Grigorian|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、7次元多様体上のG₂構造の非無限小変形を調査し、G₂の7次元表現におけるベクトル場によって誘導される変形に焦点を当てる。コンフォーメルにほぼ平行なG₂構造（ねじれがW₁⊕W₇に属する）からほぼ平行なG₂構造（ねじれがW₁に属する）への変形が存在するための必要十分条件は、計量が特定のワーペッド積の形をしている場合に限ることを証明する。これは、CleytonとIvanovによる構成を一般化するものである。

ABSTRACT

We overview the properties of non-infinitesimal deformations of G2-structures on seven-manifolds, and in particular, focus on deformations that lie in the seven-dimensional representation of G2 and are thus defined by a vector. We then consider deformations from G2-structures with the torsion class having one-dimensional and seven-dimensional components (so-called conformally nearly parallel G2-manifolds) to G2-structures with just a one-dimensional torsion component (nearly parallel G2-manifolds). We find that deformations between such structures exist if and only if the metric is a particular warped product metric.

研究の動機と目的

• 7次元多様体上のG₂構造の非無限小変形を理解すること、特にベクトル場によって誘導される変形に焦点を当てる。
• W₁⊕W₇に属するねじれを持つG₂構造が、W₁に属するねじれを持つものに変形可能となる条件を分析すること。
• このような変形が存在するために必要な計量構造を同定し、ワーペッド積幾何と関連付けること。
• 特にM理論のコンパクト化の文脈において、ねじれクラスと変形に関する先行研究を拡張すること。

提案手法

• 論文は、先行研究（Grigorian, 2010）における一般化された変形枠組みを用い、3形式の空間Λ₇³における変形後の新しいねじれを計算する。
• 文献[10]で導出されたねじれ変換式を、W₁⊕W₇からW₁へのねじれクラスへの変形という特定の状況に適用する。
• 変形の解析には、ワープ因子fのヘッセ行列をねじれ成分τ₁とτ₇で表現する手法を用い、fに関する2階偏微分方程式（PDE）を導出する。
• 関数F(f)についての微分方程式を解くことで、∇∇Fが計量に比例するようにする。これにより、計量がワーペッド積の形をとらなければならない条件を同定する。
• W₁ねじれクラスの計量不変性を用い、変形がワーペッド積計量の存在と関連していることを示す。
• 結果をCleytonとIvanovによる既知の構成と結びつけ、特にほぼケーラー6次元多様体上でのワーペッド積計量と整合性があることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Λ₇³における非無限小変形によって、ねじれがW₁⊕W₇に属するG₂構造が、ねじれがW₁に属するものに変形可能となる条件は何か？
• RQ2 このような変形が存在するために必要な計量構造は何か？ そして、ワーペッド積幾何とどのように関連するか？
• RQ3 ねじれ成分τ₁とτ₇はこのような変形の下でどのように変化するか？ それらの振る舞いを支配する常微分方程式（ODE）は何か？
• RQ4 変形プロセスは逆転可能か、あるいは他のねじれクラス、特にW₂₇に拡張可能か？
• RQ5 コンフォーマル変換は、ほぼ平行G₂構造とコンフォーマルにほぼ平行なG₂構造をどのように関連付けるか？

主な発見

• ねじれがW₁⊕W₇に属するG₂構造からW₁に属するものへの変形が存在するための必要十分条件は、計量gがg = |∇F|⁻² dF² + |∇F|² ̂gの形のワーペッド積である、特定の関数Fがワープ因子fから導出されることである。
• Fのヘッセ行列は∇ₐ∇ᵦF = P(f)gₐᵦ + Q(f)∇ₐf∇ᵦfを満たし、Q(f) = 2(f² - 3f - 6)/(f(f² - 9))である。この式はワーペッド積条件を導く。
• 関数Fは微分方程式d²F/df² + (dF/df)Q(f) = 0を解くことで決定され、G = dF/df = 6(f−3)²ᐟ³ / (f⁴ᐟ³(f+3)⁴ᐟ³)が得られ、これによりワーペッド積構造が得られる。
• 得られる計量は、CleytonとIvanovによるワーペッド積構成と一致し、計量がdt² + h(t)² ̂gの形で、h(t)がh' = h cosθ − σ sinθ および θ' = σ sinθ / h を満たすものである。
• ねじれ成分は明示的にτ₁ = h⁻¹σ sinθ および τ₇ = h⁻¹(σ cosθ − h')dtとして与えられ、W₁⊕W₇クラスと整合的である。
• 適切な初期条件hとθの下で解が存在し、指定された計量条件の下で変形プロセスは幾何的構造を保存する。