[論文レビュー] Galilean and Carrollian Hodge star operators

Marián Fecko|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非特異な計量テンソルが存在しないため、標準的な計量に基づく構成が失敗するガリレオおよびカーロリアン時空に対して、ホッジスター作用素の類似物を導入する。時間1形式、空間計量、体積形式といった標準的構造を活用し、それぞれの時空に対して2つずつ、計量 $h^{ab}$ もしくは時間射影子 $k_{ab}$ を用いた4つの異なるホッジスター作用素を構成する。主たる貢献は、座標に依存しない幾何学的定式化により、ガリレオおよびカーロリアン電磁力学を簡潔に表現可能にする点である。

ABSTRACT

The standard Hodge star operator is naturally associated with metric tensor (and orientation). It is routinely used to concisely write down physics equations on, say, Lorentzian spacetimes. On Galilean (Carrollian) spacetimes, there is no canonical (nonsingular) metric tensor available. So, the usual construction of the Hodge star does not work. Here we propose analogs of the Hodge star operator on Galilean (Carrollian) spacetimes. They may be used to write down important physics equations, e.g. equations of Galilean (Carrollian) electrodynamics.

研究の動機と目的

• ガリレオおよびカーロリアン時空には標準的計量テンソルが存在しないため、標準的なホッジスター作用素の構成が不可能であるという問題に取り組む。
• これらの時空に存在する標準的幾何的構造（時間1形式、空間計量、体積形式など）を特定する。
• 標準ホッジスター作用素が持つ本質的な双対性および類似双対性を保つホッジスター作用素の類似物を開発する。
• 特にガリレオおよびカーロリアン幾何における物理法則、特に電磁力学を、簡潔で座標に依存しない形で定式化可能にする。
• 退化または特異な計量を持つ時空におけるホッジ双対性の枠組みを確立し、微分幾何学を非ローレンツ的設定に拡張する。

提案手法

• 時間1形式と空間計量（またはその双対）を用いてガリレオおよびカーロリアン時空を定義し、最高次形式および多重量テンソルの存在を保証する。
• それぞれの時空に対して2つの異なるホッジスター作用素を構成する：(1) 空間計量 $h^{ab}$ またはその双対 $\tilde{h}_{ab}$ を用い、(2) 時間射影子 $k_{ab}$ またはその双対 $\tilde{k}^{ab}$ を用いる。
• ガリレオ的状況では $h^{ab}$ および $k_{ab}$ を用いた標準的インデックスの上げ下げを、カーロリアン的状況では $\tilde{k}^{ab}$ および $\tilde{h}_{ab}$ を用いて、混合テンソル場 $\omega^{a\dots b}_{\ \ \ c\dots d}$ を構築する。
• 適切なフレームにおける明示的な成分式を導出し、ホッジスター作用素が $p$-形式を $(d-p)$-形式に一意に写像することを示す。
• 新しい作用素が微分形式に作用する際の性質を、ミンコフスキー時空における既知の結果と比較することで一貫性を検証する。
• 作用素を用いてガリレオおよびカーロリアン電磁力学を定式化し、双対性を保つ形でマクスウェルに類似した方程式を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化計量テンソルが存在しないガリレオおよびカーロリアン時空に対しても、ホッジスター作用素を定義することは可能か？
• RQ2 ホッジスター作用素の類似物を構成するための代替として、計量およびその逆行列の代わりに何らかの標準的幾何的構造が利用可能か？
• RQ3 得られたホッジスター作用素は、引き戻し写像および時空の内在的幾何とどのように関係するか？
• RQ4 新しいホッジスター作用素を用いることで、ガリレオおよびカーロリアン電磁力学のような物理法則を簡潔に表現可能か？
• RQ5 ガリレオおよびカーロリアンのホッジスター作用素は、形式の写像および双対性の性質において、標準的なミンコフスキーのホッジスター作用素とどのように異なるか？

主な発見

• 4つの異なるホッジスター作用素が構成された：ガリレオ時空に対して2つ（$h^{ab}$ および $k_{ab}$ を根拠に）、カーロリアン時空に対して2つ（$\tilde{h}_{ab}$ および $\tilde{k}^{ab}$ を根拠に）、すべてが標準的幾何的構造に基づく。
• ホッジスター作用素は、$p$-形式を $(d-p)$-形式に一意的かつ座標に依存しない方法で写像し、本質的な双対性の特徴を保つ。
• 明示的な式から、$1+3$次元における微分形式へのホッジスター作用素の作用は、ガリレオ、カーロリアン、ミンコフスキーの各場合で顕著に異なることが判明し、特にベクトル成分とスカラー成分の双対化の方法が異なる。
• ガリレオのホッジスター作用素では $*(fdt + \mathbf{a}\cdot d\mathbf{r}) = dt \wedge \mathbf{a}\cdot d\mathbf{S}$ であり、カーロリアンのホッジスター作用素では $*(fdt + \mathbf{a}\cdot d\mathbf{r}) = f dV$ となる。これは、それぞれ異なる幾何的双対性を反映している。
• $k_{ab}$ や $\tilde{k}^{ab}$ を根拠とするホッジスター作用素は、一部の状況で最高次形式および最低次形式に対してゼロを返すことがあり、特定の成分における双対性の崩壊を示している。
• この枠組みにより、ガリレオおよびカーロリアン電磁力学を簡潔に定式化可能であり、マクスウェルに類似した方程式 $dF = 0$ および $d*F = -J$ を、ローレンツ的状況と同様の双対性を保った形で表現可能である。