[論文レビュー] Galois module structure of Milnor K-theory in characteristic p

Ganesh Bhandari, Nicole Lemire+2 more|ArXiv.org|May 26, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、特徴が $p$ である巡回拡大 $E/F$ について、$p^n$ 次の $\mathrm{Gal}(E/F)$ に対するミルナー K-理論の $p$ を法とするモジュール構造を決定する。イシュボルドインの同型（$K_mE/pK_mE$ と $p$ 次特徴の特性における外微分形式のアーティン＝シュライヤー作用素の核との間）を用い、$k_mE = K_mE/pK_mE$ が、自明な $\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(E/F)]$-モジュールと、$\mathrm{Gal}(E/F)$ の商群上の自由モジュールの直和に分解され、すべての非分解的和因子が $p$ のべき次元を持つことを示す。これは、すべての $m \in \mathbb{N}$ に対してモジュール構造の完全分類を提供する。

ABSTRACT

Let E be a cyclic extension of degree p^n of a field F of characteristic p. Using arithmetic invariants of E/F we determine k_mE, the Milnor K-groups K_mE modulo p, as Fp[Gal(E/F)]-modules for all m in N. In particular, we show that each indecomposable summand of k_mE has Fp-dimension a power of p. That all powers p^i, i=0,1,...,n, occur for suitable examples is shown in a subsequent paper [MSS2], where additionally the main result of this paper becomes an essential induction step in the determination of K_mE/p^sK_mE as (Z/p^sZ)[Gal(E/F)]-modules for all m, s in N.

研究の動機と目的

• 特徴が $p$ である $p^n$ 次の巡回拡大 $E/F$ に対して、$k_mE = K_mE/pK_mE$ の Galois モジュール構造を決定すること。
• $n=1$ の場合の $k_1E$ および $k_mE$ の既存結果を、任意の $n$ およびすべての $m \in \mathbb{N}$ に拡張すること。
• $k_mE$ を $\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(E/F)]$-モジュールとして見たとき、すべての非分解的和因子が $\mathbb{F}_p$-次元が $p$ のべきに等しいことを示すこと。
• 中間体からのノーム写像を用いて、固定部分モジュール $(k_mE)^G$ の標準的フィルトレーションを構成すること。

提案手法

• 特徴が $p$ である場合の外微分形式の外代数におけるアーティン＝シュライヤー作用素の核との間のイシュボルドインの同型を活用する。
• 特徴が $p$ であるミルナー K-理論におけるヒルベルトの第90条を適用する。これは、$p$-冪次数の巡回拡大に対して、$K_mE \xrightarrow{1-\sigma} K_mE \xrightarrow{N_{E/F}} K_mF$ が完全列であると述べるものである。
• 指数 $n$ についての帰納法を用い、$n=1$ および $n=2$ の基本ケースは補題 5 および補題 6 を用いて確立する。
• クルール＝シュマイド＝アズマヤの定理を適用し、非分解的モジュールへの分解の一意性を保証する。これは、巡回 $\mathbb{F}_p[G]$-モジュールの自己双対性および局所的自己準同型環の性質を活用する。
• $(k_mE)^G$ のフィルトレーションを、中間体 $E_i$ に対するノーム写像 $N_{E/E_i}: k_mE \to k_mE_i$ の像を通じて分析し、$\mathbb{F}_p[G]$ の最大イデアルの累乗に対応することを示す。
• 補題 4 への還元を用い、$p^{n-1} < j < p^n$ に対して $\rho^{j-1}k_mE \cap (k_mE)^G \subseteq i_E N_{E/F}k_mE$ が成り立つことを示し、主たる分解結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が $p$ である $p^n$ 次の巡回拡大 $E/F$ に対して、$k_mE = K_mE/pK_mE$ の Galois モジュール構造は何か？
• RQ2 $k_mE$ の直接和因子として現れる可能性がある $\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(E/F)]$-モジュールの非分解的モジュールはどれか？
• RQ3 中間体からのノーム写像を用いて、固定部分モジュール $(k_mE)^G$ のフィルトレーションを標準的に記述できるか？
• RQ4 $k_mE$ の非分解的モジュールへの分解が生成子の選び方に依存するか、それとも $\mathrm{Gal}(E/F)$ の商群上のランクがモジュール $k_mE$ の不変量として一意に定まるか？

主な発見

• $\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(E/F)]$-モジュール $k_mE$ は、自明モジュールと $\mathrm{Gal}(E/F)$ の商群上の自由モジュールの直和に分解され、それ以外の非分解的和因子は存在しない。
• $k_mE$ のすべての非分解的和因子は、$\mathbb{F}_p$-次元が $p$ のべきに等しく、具体的には $i = 0, 1, \dots, n$ に対して $p^i$ である。
• $\mathrm{Gal}(E/F)$ の商群上の自由モジュールである和因子のランクは、分解の選び方に依存せず、$k_mE$ の不変量として一意に定まる。
• $(k_mE)^G$ のフィルトレーションは、$\mathbb{F}_p[\mathrm{Gal}(E/F)]$ の最大イデアルの累乗に対応するが、これは中間体 $E_i$ に対するノーム写像 $N_{E/E_i}: k_mE \to k_mE_i$ の像によって標準的に定まる。
• $p > 2$ の場合、長さ $l(\gamma) > p^{n-1}$ である非分解的和因子の生成子 $\gamma$ に対しては、$l(\gamma) = p^n$ が成り立つ。同様に $p=2$ の場合、$l(\gamma) > 2^{n-1}$ ならば $l(\gamma) = 2^n$ である。
• この結果は、[MSS2] において、すべての $m, s \in \mathbb{N}$ に対して $K_mE/p^sK_mE$ を $\mathbb{Z}/p^s\mathbb{Z}[\mathrm{Gal}(E/F)]$-モジュールとして分類するための重要な帰納的段階として用いられている。