[論文レビュー] Galois objects and cocycle twisting for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな量子群 $(M, \Delta)$ のガロア対象 $(N, \alpha)$ から、双対な局所コンパクトな量子群 $(\widehat{P}, \Delta_{\widehat{P}})$ の存在を確立し、その構成が不変な重みを備えたwell-definedな量子群をもたらすことを証明している。主な貢献は、局所コンパクトな量子群の任意のユニタリ2-コサイクル捩りが、再び局所コンパクトな量子群をもたらすことを示したことであり、これは代数的コサイクル捩りをvon Neumann代数の設定に一般化したものである。

ABSTRACT

In this article, we investigate the notion of a Galois object for a locally compact quantum group M. Such an object consists of a von Neumann algebra N equipped with an ergodic integrable coaction of M on N, such that the crossed product is a type I factor. We show how to construct from such a coaction a new locally compact quantum group P, which we call the reflection of M along N. By way of application, we prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group.

研究の動機と目的

• 局所コンパクトな量子群のためのガロア対象理論を、代数的量子群からvon Neumann代数の設定へと拡張すること。
• 分離可能で予対の存在するガロア対象 $(N, \alpha)$ から双対な局所コンパクトな量子群 $\widehat{P}$ を構成し、不変な重みの存在を保証すること。
• 局所コンパクトな量子群の任意のユニタリ2-コサイクル捩りが、再び局所コンパクトな量子群をもたらすことを証明すること。
• ヒルベルト空間 $\mathscr{H}$ 上のコアクションの外部同値類と、分離可能な予対を持つガロア対象の同型類との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• ガロア対象を、型I因子となるクローズド積 $N \otimes M$ を持つ、エルゴディックかつ可積分なコアクション $\alpha: N \to N \otimes M$ を備えたvon Neumann代数 $N$ として定義する。
• ガロア対象のリンク代数を用いて、$\mathscr{L}^2(N)$ 上のコアリフレセンテーション $\mathcal{G}$ を用いて双対量子群 $\widehat{P}$ を構成する。
• ガロア写像の構造と $\mathscr{L}^2$-空間上でのユニタリ性を用いて、$\widehat{P}$ 上の不変な重みの存在を証明する。
• 捩りられた代数をガロア対象として実現することにより、$\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ が量子群構造を保存することを示す。
• ユニタリ交絡子によって誘導されるガロア対象の同型を用いて、外部同値なコアクションと同型なガロア対象との関係を結ぶ。
• Ehresmann型の構成を活用してコアクションを双対化し、元の量子群構造を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトな量子群のガロア対象を用いて、不変な重みを備えた新たな双対局所コンパクトな量子群を構成できるか？
• RQ2 局所コンパクトな量子群の任意のユニタリ2-コサイクル捩りが、再び局所コンパクトな量子群をもたらすか？
• RQ3 ヒルベルト空間 $\mathscr{H}$ 上のコアクションの外部同値類と、分離可能な予対を持つガロア対象の同型類との間には一対一対応が存在するか？
• RQ4 ガロア対象のコアリフレセンテーションは、双対量子群の構造とどのように関係するか？
• RQ5 ガロア写像が $\mathscr{L}^2$-空間上で果たす役割は、コアクションのユニタリ性と可積分性を保証するためにどのように寄与するか？

主な発見

• ガロア対象 $(N, \alpha)$ から双対局所コンパクトな量子群 $\widehat{P}$ を構成することが可能であり、不変な重みを備えるため、well-definedな量子群であることが保証される。
• 局所コンパクトな量子群の任意のユニタリ2-コサイクル捩り $\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ は、再び局所コンパクトな量子群をもたらす。
• コサイクル捩りに関連するガロア対象は、その双対コアクションを備えた捩られた畳み込み代数 $\widehat{M} \underset{\Omega}{\ltimes} \mathbb{C}$ と同型である。
• $(\widehat{M}, \widehat{\Delta})$ が $B(\mathscr{H})$ 上に作用するコアクションの外部同値類と、$(M, \Delta)$ の分離可能な予対を持つ右ガロア対象の同型類との間に自然な一対一対応が存在する。
• 同型なガロア対象は、コサイクル条件を満たし、外部同値を実現するユニタリ交絡子 $v$ によって関連付けられたコアクションに対応する。
• ガロア対象のコアリフレセンテーション $\mathcal{G}$ は、リンク代数間の、余乗法を保存する同型を誘導し、双対量子群構造が保たれることを保証する。