[論文レビュー] Galois representations attached to abelian varieties of CM type

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体 $K$ 上の絶対的単純な自己準同型が複素乗法を持つアーベル多様体 $A$ に対して、分割体 $K(A[\rho^n])$ の次数に関する明示的で効果的な上限を提供する。これは、セールとリベットの漸近的結果を精緻化したものであり、CM体、類数、およびムーディ・テイト群のランクを用いて $[K(A[\rho^n]):K]$ の鋭い上限を確立する。特にCM型が非退化である場合に強く、楕円曲線の場合にはガロア群を完全に記述する。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field, $A/K$ be an absolutely simple abelian variety of CM type, and $\ell$ be a prime number. We give explicit bounds on the degree over $K$ of the division fields $K(A[\ell^n])$, and when $A$ is an elliptic curve we also describe the full Galois group of $K(A_{ ext{tors}})/K$. This makes explicit previous results of Serre and Ribet, and strengthens a theorem of Banaszak, Gajda and Krasoń. Our bounds are especially sharp in case the CM type of $A$ is nondegenerate.

研究の動機と目的

• 絶対的単純な自己準同型が複素乗法を持つアーベル多様体の分割体に対して、次数 $[K(A[\rho^n]):K]$ に対する明示的で効果的な境界を提供すること。
• セールとリベットの、$n \to \infty$ のときの $[K(A[\rho^n]):K]$ の成長に関する漸近的境界を精緻化し、明示的な形で示すこと。
• アーベル多様体 $A$ が楕円曲線である場合に、ガロア群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$ を完全に記述すること。
• バナシャク、ガジャ、クリェゾンの先行結果を、境界に有効な定数を明示的に与えることで強化すること。

提案手法

• ガロア像 $G_{\rho^n}$ の分析のための基準代数的群としてのムーディ・テイト群 $\operatorname{MT}(A)$ の使用。
• 問題を $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$ のインデックスと $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$ のサイズの推定に還元すること。
• 反射体とノルム写像を用いて、非分岐な $\rho$ および非退化CM型の場合に $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$ を明示的に計算すること。
• 代数群の $\mathbb{Z}_\rho$-点に関するオノの理論を用いて $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$ を定義すること。
• CM多様体では既知であるムーディ・テイト予想を用いて、$G_{\rho^\infty}$ が $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$ の有限指数部分群として同定されること。
• 境界の鋭さをテストおよび実証するために、例えば $y^p = x(1-x)$ のヤコビアンなどの明示的族を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CM型のアーベル多様体に対して、漸近的推定に依存しない、$[K(A[\rho^n]):K]$ の有効的で明示的な境界は何か？
• RQ2 アーベル多様体 $A$ がCM型の楕円曲線であるとき、ガロア群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$ はどのように構造化されているか？
• RQ3 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$ と $G_{\rho^\infty}$ のインデックス $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$ は、$K$ と $E$ の不変量を用いて有効的に上界をもつことができるか？
• RQ4 CM型が非退化である場合、境界はどの程度鋭いか？ また、明示的な例によってこれを示唆できるか？
• RQ5 アーベル多様体の次元の関数として、$\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$ の成長率は何か？

主な発見

• 非分岐な $\ell > \sqrt{2 \cdot g!}$ に対して、$K \cdot E$ で非分岐ならば、次数は $\frac{1}{4\mu\sqrt{g!}} \cdot \ell^{nr} \leq [K(A[\ell^n]):K] \leq \frac{5}{2}\mu \cdot h(K) \cdot \ell^{nr}$ を満たす。ここで $\mu$ は $E$ に含まれる単位根の数、$h(K)$ は $K$ の類数である。
• アーベル多様体 $A$ が楕円曲線の場合、ガロア群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$ は $\prod_{\ell} \mathcal{O}_E \otimes \mathbb{Z}_\ell^\times$ の部分群として明示的に記述され、そのインデックスは $3[K:\mathbb{Q}]$ で割り切れる。これにより、境界における定数 3 が鋭いことが示される。
• 非退化CM型をもつアーベル曲面（$g=2$）に対して、$G_{\ell^\infty} \cap \operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ と $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ のインデックスは $[K:E^*]$ 以下である。これにより、$[K(A[\ell^n]):K]$ の明示的下界が得られる。
• 比率 $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$ は、アーベル多様体の次元に関して少なくとも指数関数的に増加する。これは、$y^p = x(1-x)$ のヤコビアンの族によって示され、$\ell=2$、$n=1$、$\dim A = (p-1)/2$ のとき、この比率は $2^{(p+1)/2}/p$ に等しい。
• 次元が 2 である場合、非分岐な $\ell$ に対して $[K(A[\ell^n]):K] \geq (1 - 1/\ell)^3 \ell^{3n}$ が成り立ち、これは先頭項において最適であることを示している。
• $y^p = x(1-x)$ のヤコビアン $J(p)$ の例は、$[K(A[2^n]):K]$ の下界における定数が鋭いことを示しており、$[K(J(p)[2]):K] = p$ であり、比率 $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K] = 2^{(p+1)/2}/p$ である。これは次元に関する指数的増加を確認する。