[論文レビュー] Galois self-dual cuspidal types and Asai local factors

U. K. Anandavardhanan, Robert Kurinczuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\ceil_n(\ceil)$ 上の $\ceil$-自己双対な尖型表現 $\pi$ のアサイ L 関数に対して、明示的な積分表現を確立し、それが明示的なテストベクトルを用いた単一のアサイ積分として生じることを証明する。さらに、$\pi$ が $\ceil_n(\ceil_o)$-区別可能であるとき、アサイの根数が 1 に等しいことを示し、局所的アサイ $\varepsilon$-因子が、中心乗数および局所定数を含む明示的係数を除いて、ラングランズ–シャハイの $\varepsilon$-因子と一致することを証明する。

ABSTRACT

Let $F/F_{\mathsf{o}}$ be a quadratic extension of non-archimedean locally compact fields of odd residual characteristic and $σ$ be its non-trivial automorphism. We show that any $σ$-self-dual cuspidal representation of ${ m GL}_n(F)$ contains a $σ$-self-dual Bushnell--Kutzko type. Using such a type, we construct an explicit test vector for Flicker's local Asai $L$-function of a ${ m GL}_n(F_{\mathsf{o}})$-distinguished cuspidal representation and compute the associated Asai root number. Finally, by using global methods, we compare this root number to Langlands--Shahidi's local Asai root number, and more generally we compare the corresponding epsilon factors for any cuspidal representation.

研究の動機と目的

• Fリッカーの局所的アサイ L 関数の、$\rceil$-自己双対尖型表現に対する明示的なテストベクトルの構成。
• 特に $\rceil_n(\rceil_o)$-区別可能な場合に、そのような表現のアサイ根数を計算すること。
• 尖型表現に対して、フライクァーのアサイ $\varepsilon$-因子とラングランズ–シャハイの $\varepsilon$-因子の比較。
• 区別可能な尖型表現のアサイ L 関数が、標準的テストベクトルを用いた単一のアサイ積分として実現されることの確立。

提案手法

• Bushnell–Kutzko のタイプ理論を用いて、$\rceil_n(\rceil)$ 上の $\rceil$-自己双対尖型表現の $\rceil$-自己双対タイプを構成する。
• 表現 $\pi$ のホイットカー模型における明示的なホイットカー関数 ${\rceil}_0$ を構成し、$Ο_o^n$ の特性関数とのアサイ積分がアサイ L 関数を与えることを示す。
• グローバルな手法を用いて、フライクァーのアサイ $\varepsilon$-因子とラングランズ–シャハイの $\varepsilon$-因子を比較する。
• 誘導表現の理論と交差作用素を用いた双対性の議論により、アサイ因子をラングランズ–シャハイ因子に関連付ける。
• タイプ理論とパラボリック誘導の構造を用いて、${\rceil}^\sigma$-不変線型形式の空間を解析する。
• 局所的アサイ因子がアサイ L 関数の関数等式と整合することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\rceil$-自己双対尖型表現 $\pi$ は、$\rceil$-自己双対な Bushnell–Kutzko タイプをもつのか？
• RQ2 任意の $\rceil$-自己双対尖型表現のアサイ L 関数は、明示的なテストベクトルを用いた単一のアサイ積分として実現可能か？
• RQ3 表現が $\rceil_n(\rceil_o)$-区別可能であるとき、アサイ根数の値は何か？
• RQ4 尖型表現に対して、フライクァーのアサイ $\varepsilon$-因子とラングランズ–シャハイの $\varepsilon$-因子の関係は何か？
• RQ5 区別可能な尖型表現のアサイ L 関数は、非退化的特徴の選び方に依存しないか？

主な発見

• 尖型表現 $\pi$ のアサイ L 関数は、単一のアサイ積分として実現される：$\operatorname{I}_{\rm As}(s,\Phi_0,{\rceil}_0)={\rceil}_{{\rm As}}(s,\pi)$、ここで $\Phi_0$ は $\u039f_o^n$ の特性関数である。
• $\rceil_n(\rceil_o)$-区別可能な尖型表現に対して、アサイ根数は $\epsilon_{{\rm As}}(1/2,\pi,\psi_o,\delta)=1$ を満たし、これは予想の確認である。
• フライクァーのアサイ $\varepsilon$-因子は、$\epsilon_{{\rm As}}(s,\pi,\psi_o,\delta)=\omega_\pi(\delta)^{n-1}\cdot|\delta|^{\frac{n(n-1)}{2}(s-1/2)}\cdot\lambda({\rceil}/{\rceil_o},\psi_o)^{-\frac{n(n-1)}{2}}\cdot\epsilon_{{\rm As}}^{{\rm LS}}(s,\pi,\psi_o)$ によってラングランズ–シャハイの因子と関連づけられる。
• 尖型表現における ${\rceil}^\sigma$-不変線型形式の空間の次元は 1 であり、表現が区別可能な場合、$\rceil_n(\rceil_o)$-不変形式の空間と一致する。
• アサイ L 関数が非自明であるための必要十分条件は、表現が区別可能な非分岐捩りの存在である。
• テストベクトル ${\rceil}_0$ の構成は標準的であり、非退化的特徴 $\psi$ の選び方に依存しない。