[論文レビュー] Galois symmetries of fundamental groupoids and noncommutative geometry

A. B. Goncharov|ArXiv.org|Aug 20, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、単位根を除く射影直線上の反復積分のモチビックホップ代数を構成し、ガロア対称性を符号化する明示的なコプロダクト公式を確立する。このコプロダクトは、基本群の群の構造と関連し、モチビック多重ポリログラスホップ代数を通じてモジュラー形式と結びつけられ、フェイニマン積分やミックスド・テイト・モチーフへの応用がなされる。

ABSTRACT

We define motivic iterated integrals on the affine line, and give a simple proof of the formula for the coproduct in the Hopf algebra of they make. We show that it encodes the group law in the automorphism group of certain non-commutative variety. We relate the coproduct with the coproduct in the Hopf algebra of decorated rooted planar trivalent trees - a planar decorated version of the Hopf algebra defined by Connes and Kreimer. As an application we derive explicit formulas for the coproduct in the motivic multiple polylogarithm Hopf algebra. We give a criteria for a motivic iterated integral to be unramified at a prime ideal, and use it to estimate from above the space spanned by the values of iterated integrals. In chapter 7 we discuss some general principles relating Feynman integrals and mixed motives.

研究の動機と目的

• 反復積分のモチビックホップ代数を、明示的なコプロダクト構造とともに、数体 F 上で定義すること。
• このホップ代数におけるコプロダクトが、非可換多様体の自己同型群に関連することを示すこと。
• GL_m に対するモジュラー多様体と、$\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$ のモチビック基本群との間の関係を確立すること。
• この枠組みをフェイニマン積分およびミックスド・モチーフに応用し、数論と量子場の理論の深い関係を示唆すること。
• モチビック反復積分からホッジ＝テイト周期への周期写像が全射であることを証明し、次数付きの場合には同型であると予想されること。

提案手法

• 数体 F 上のホップ代数 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ において、モチビック反復積分 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$ を構成する。
• テンソル代数の分解による同型 $\mathcal{A}_\bullet(F) \cong T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$ を用いて、$\mathcal{A}_\bullet(F)$ 上のコプロダクト $\Delta$ を定義する。
• ホッジ実現における周期代数への自然な全射準同型 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ を確立する。
• 発散する反復積分の正則化を $\varepsilon$ における漸近展開を用いて行い、$\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ 内のwell-definedな周期を定義する。
• コンネス＝クライマーのホップ代数の平面装飾版を用いて、モチビックホップ代数を装飾付き根付き平面三重木と関連付ける。
• フェイニマン積分への応用として、多重ポリログラスおよびミックスド・テイト・モチーフと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群の群のガロア対称性は、反復積分のモチビックホップ代数にどのように符号化されるか？
• RQ2 モチビック反復積分ホップ代数におけるコプロダクト $\Delta$ の明示的構造は何か？
• RQ3 モチビック反復積分は、$\mathcal{O}_{F,S}$ 上のミックスド・テイト・モチーフの周期とどのように関係するか？
• RQ4 モチビック多重ポリログラスホップ代数は、モチビックガロア群とモジュラー形式を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 予想されているように、周期写像 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(F) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ は同型であるか？

主な発見

• モチビック反復積分ホップ代数におけるコプロダクト $\Delta$ は明示的に計算され、非可換多様体の自己同型群の群法則を符号化していることが示された。
• モチビック反復積分 $\mathrm{I}^\mathcal{M}(a_0; a_1, \dots, a_{n+1})$ は、$p_\sigma$ によって $\mathcal{P}^\sigma_\bullet(F)$ 内の正則化周期 $\overline{\mathrm{I}}(\sigma(a_0); \sigma(a_1), \dots, \sigma(a_{n+1}))$ に写像される。
• ホップ代数 $\mathcal{A}_\bullet(F)$ は、$K_{2n-1}(F)$ を次数 $n$ に持ち、テンソル代数 $T(\bigoplus_{n \geq 1} K_{2n-1}(F) \otimes \mathbb{Q})$ に同型である。
• 重さ $\leq n$ の周期の空間 $\mathcal{P}^\sigma_n(\mathcal{O}_{F,S})$ の次元は、$\dim_\mathbb{Q} \mathcal{A}_n(\mathcal{O}_{F,S})$ によって上から抑えられる。
• 周期写像 $p_\sigma: \mathcal{A}_\bullet(\mathcal{O}_{F,S}) \to \mathcal{P}^\sigma_\bullet(\mathcal{O}_{F,S})$ は全射であり、予想では同型である。これは、上界が鋭いことを示唆する。
• この枠組みにより、モチビック多重ポリログラスホップ代数におけるコプロダクトの明示的公式が得られ、$\mathbb{P}^1 - (\{0,\infty\} \cup \mu_N)$ のモチビック基本群の構造と結びつけられた。