[論文レビュー] Galois theory for H-extensions

Marcin Szamotulski|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、A と H がともに平坦なミタグ・レフラー加群であるという条件下で、H-コメドゥール代数 A の部分代数とホップ代数 H の一般化商の間のガロア対応を確立する。これはシャウエンブルクの可適対象の理論を一般化し、H-ガロア余拡張が閉じていることを証明し、A = H の場合に双対的ガロア対応が成り立つための必要十分条件を、非可換設定におけるコリング的アプローチと標準写像を用いて提示する。

ABSTRACT

We show that there exists a Galois correspondence between subalgebras of an H-comodule algebra A over a base ring R and generalised quotients of a Hopf algebra H if both A and H are flat Mittag--Leffler modules. We also provide new criteria for subalgebras and generalised quotients to be closed elements of the Galois connection constructed. We generalise the Schauenburg theory of admissible objects to this more general context. Then we consider coextensions of H-module coalgebras. We construct a Galois connection for them and we prove that H-Galois coextensions are closed. We apply the results obtained to the Hopf algebra itself and we give a simple proof that there is a bijective correspondence between right ideal coideals of H and its left coideal subalgebras when H is finite dimensional. Furthermore, we formulate a necessary and sufficient condition for a bijective Galois correspondence for A=H. We also consider crossed product algebras.

研究の動機と目的

• H-コメドゥール代数の文脈において、スハウエンブルクの可適対象の理論をより広いカテゴリカルかつ非可換な文脈へ一般化すること。
• H-コメドゥール代数 A の部分代数とホップ代数 H の一般化商の間のガロア対応を確立すること。
• ガロア接続における部分代数および一般化商が閉じた元であるための新しい基準を提示すること。
• H-モジュールコアルゲブラの余拡張へ理論を拡張し、H-ガロア余拡張が閉じていることを証明すること。
• H 自身のホップ代数へ応用し、H が有限次元であるとき、右イデアルコイデアルと左コイデアル部分代数の間の双対的対応を証明すること。

提案手法

• A の部分代数のラティスと H の一般化商のラティスの間のガロア接続 (Φ, Ψ) を構成する。
• 標準写像 can: A ⊗_R A → A ⊗ H を用いてガロア拡張を定義し、その性質を分析する。
• Homk(H, A) を通じたコリング的アプローチを用い、写像 Θ と Υ を用いて閉じた元を研究する。
• ミタグ・レフラー条件を用いて、部分対象のラティスにおける平坦性と交差の安定性を保証する。
• H の部分対象と H* の商の間の双対性を用い、H-ガロア拡張と H*-ガロア拡張の関係を関連付ける。
• 標準写像が同型であり、A が整域で H の作用がモノモーマルであるならば、商ラティスにおける Homk(K, A) が閉じた元であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H-コメドゥール代数 A の部分代数とホップ代数 H の一般化商の間のガロア対応が成立する条件は何か？
• RQ2 ガロア接続における部分代数および一般化商が閉じた元であるための基準は何か？
• RQ3 シュアウエンブルクの可適対象の理論を、ベース環 R 上の H-コメドゥール代数の文脈にどのように一般化できるか？
• RQ4 A = H の場合にガロア対応が双対的であるのはいつか、そしてその双対的対応が成り立つための必要十分条件は何か？
• RQ5 標準写像の性質および H が A に作用する方法が、部分代数および商の閉じ性にどのように影響するか？

主な発見

• A と H がともに平坦なミタグ・レフラー加群である限り、H-コメドゥール代数 A の部分代数とホップ代数 H の一般化商の間のガロア対応が存在する。
• A が整域で H がモノモーマルな作用をもつならば、部分代数 S ⊆ A がガロア接続で閉じていることは、標準写像 canS: A ⊗_S A → A ⊗ Ψ(S) A が同型であることと同値である。
• H-モジュールコアルゲブラの H-ガロア余拡張は、ガロア接続における閉じた元である。これは古典的結果をコアルゲブラの文脈へ一般化する。
• H が有限次元であるとき、H の右イデアルコイデアルと H の左コイデアル部分代数の間には双対的対応が存在する。これは双対性と標準写像を用いて証明される。
• 標準写像 canK が同型であるならば、商ラティス Quot(Homk(H, A)) における Homk(K, A) は閉じた元であり、K は Subgen(H) の閉じた元である。
• 標準写像 canH が同型であることと canH* が同型であることは同値であり、この仮定のもとでは、H の任意の部分対象 K ⊆ H に対して canK が同型である。