[論文レビュー] GAMA: A Novel Algorithm for Non-Convex Integer Programs

Hedayat Alghassi, Raouf Dridi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Graver基底と複数の初期妥当解を活用して非凸整数計画問題を解く、新たな古典的アルゴリズムGAMAを紹介する。構造的行列に対するGraver基底要素を体系的に計算し、複数の初期解からの増幅を実行することで、二次割り当て問題（QAP）においてGurobiに比べ最大4,407倍速く最適解を達成する。特に、商用ソルバが失敗する大規模または困難なインスタンスにおいて顕著な性能を発揮する。

ABSTRACT

Inspired by the decomposition in the hybrid quantum-classical optimization algorithm we introduced in arXiv:1902.04215, we propose here a new (fully classical) approach to solving certain non-convex integer programs using Graver bases. This method is well suited when (a) the constraint matrix $A$ has a special structure so that its Graver basis can be computed systematically, (b) several feasible solutions can also be constructed easily and (c) the objective function can be viewed as many convex functions quilted together. Classes of problems that satisfy these conditions include Cardinality Boolean Quadratic Problems (CBQP), Quadratic Semi-Assignment Problems (QSAP) and Quadratic Assignment Problems (QAP). Our Graver Augmented Multi-seed Algorithm (GAMA) utilizes augmentation along Graver basis elements (the improvement direction is obtained by comparing objective function values) from these multiple initial feasible solutions. We compare our approach with a best-in-class commercially available solver (Gurobi). Sensitivity analysis indicates that the rate at which GAMA slows down as the problem size increases is much lower than that of Gurobi. We find that for several instances of practical relevance, GAMA not only vastly outperforms in terms of time to find the optimal solution (by two or three orders of magnitude), but also finds optimal solutions within minutes when the commercial solver is not able to do so in 4 or 10 hours (depending on the problem class) in several cases.

研究の動機と目的

• 従来のソルバが失敗する、構造的制約行列を有する困難な非凸整数計画問題を解く挑戦に応えること。
• 体系的なGraver基底と妥当解の計算により、ハイブリッド量子古典アルゴリズムの完全な古典的代替を構築すること。
• 目的関数が区分的凸である問題（例：CBQP、QSAP、QAP）における解法速度とスケーラビリティを向上させること。
• Graver基底を用いたマルチシード増幅が、商業的ソルバーよりも最適解に到達するまでの時間を桁違いに短縮できることを示すこと。
• 使用頻度に基づいてGraver基底要素を効率的に生成することで、スケーラブルでメモリ効率の良い手法を提供すること。

提案手法

• 本アルゴリズムは、n-fold積やKronecker和などの構造的制約行列のGraver基底を、体系的なリフトとヒルベルト基底生成を用いて計算する。
• 初期解から出発し、境界を尊重しながらランダムに基底要素を加えることで、Graver基底上でのランダムウォークにより複数の妥当解を構築する。
• 各初期解からGraver基底要素に沿った増幅を実行し、目的関数の比較によって改善ステップを誘導する。
• 低ブリック数のリフトを優先する選択的生成戦略を採用することで、メモリ使用量を削減しながらも性能を維持する。
• 数学的性質として、任意の凸でない非線形関数は、Graver基底を用いた多項式時間の増幅によって、任意の妥当解からグローバル最適化可能であることを活用する。
• CBQP、QSAP、QAPに本手法を適用し、それらの制約と目的関数を部分空間上のクイリティド凸関数としてモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的制約を有する非凸整数計画問題において、完全に古典的なアルゴリズムがGurobiのような最先端商業ソルバーよりも優れるか。
• RQ2 QAP や QSAP などの実世界の問題から導かれる行列に対して、Graver基底を体系的に計算できる範囲はどの程度か。
• RQ3 Graver基底を用いたマルチシード増幅は、シングルスタート手法に比べ、最適解に到達するまでの時間を著しく短縮できるか。
• RQ4 商用ソルバがタイムアウトするような大規模問題において、本アルゴリズムのスケーリング特性はいかがなっているか。
• RQ5 選択的Graver基底生成は、解の品質を損なわせることなく、メモリオーバーヘッドを著しく削減できるか。

主な発見

• GAMAは17のQAPインスタンスすべてを0.1144～212.86秒で解釈したが、Gurobiは10個のインスタンスについて10時間経過しても解釈できなかった。
• Gurobiが解釈できた最大のQAPインスタンス（問題サイズ108）において、GAMAは7.8秒で最適解に到達し、Gurobiに比べ4,407倍速かった。
• CBQPおよびQSAPにおいて、GAMAは最適解を数分で達成したが、Gurobiは4～10時間必要としたり、完全に失敗したりした。
• 感度分析の結果、GAMAの問題サイズ増大に伴う遅延率は、Gurobiよりも著しく低いことが示された。
• コスト削減に寄与する大部分のGraver基底要素は、低ブリック数のリフト（t=2～4）に由来しており、効率的な選択的生成が可能である。
• 高ブリック数の基底要素をオンザフライで選択的に生成することで、メモリ使用量を著しく削減しながらも性能を維持できた。