[論文レビュー] Graver Bases via Quantum Annealing with Application to Non-Linear Integer Programs

Hedayat Alghassi, Raouf Dridi+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、D-Waveの量子アニーリングマシンを用いて、非線形整数計画問題の最適性証明に有用なGraver基底を計算するハイブリッド量子古典的手法を提案する。カーネル計算をQUBOとして符号化し、最小の非ゼロ整数解を抽出するための後処理を適用することで、中規模問題において競争力ある性能を達成した。これは、量子ビット数、接続性、結合子の精度のわずかな向上があれば、近い将来に量子優位性が達成可能である可能性を示唆している。

ABSTRACT

We propose a novel hybrid quantum-classical approach to calculate Graver bases, which have the potential to solve a variety of hard linear and non-linear integer programs, as they form a test set (optimality certificate) with very appealing properties. The calculation of Graver bases is exponentially hard (in general) on classical computers, so they not used for solving practical problems on commercial solvers. With a quantum annealer, however, it may be a viable approach to use them. We test two hybrid quantum-classical algorithms (on D-Wave)--one for computing Graver basis and a second for optimizing non-linear integer programs that utilize Graver bases--to understand the strengths and limitations of the practical quantum annealers available today. Our experiments suggest that with a modest increase in coupler precision--along with near-term improvements in the number of qubits and connectivity (density of hardware graph) that are expected--the ability to outperform classical best-in-class algorithms is within reach, with respect to non-linear integer optimization.

研究の動機と目的

• 現在の量子アニーリングマシンを用いてGraver基底を計算する実用的妥当性を検討すること。
• D-Waveプロセッサで解けるQUBO問題にGraver基底計算をマッピングするハイブリッド量子古典パイプラインを構築すること。
• 現在のハードウェア制約のもとで、量子アニーリングが古典的手法を上回る可能性があるかどうかを評価すること。
• 部分的Graver基底と複数の初期妥当解を用いることで、拡張探索によってもグローバル最適解が得られるかどうかを調査すること。
• この分野における量子優位性を達成するためのハードウェア要件（量子ビット数、接続性、結合子の精度）を同定すること。

提案手法

• 整数行列Aのカーネルを、整数からバイナリへの符号化と適応的センター補正を用いてQUBOにマッピングし、量子ビットの制限に収める。
• D-Wave量子アニーリングマシンを用いて、カーネル要素に対応するdegenerateな解をサンプリングし、その後処理を体系的に行い、最小の非ゼロ整数ベクトル（Graver基底要素）を抽出する。
• チェーン切断戦略を適用し、アニーリング時間を調整することで、解の正確性を向上させ、誤差を低減する。
• 残差カーネル技術を用いて、初期走行で得られなかった追加のGraver基底要素を反復的に回復する。
• 計算されたGraver基底を用いて、2段階目のハイブリッドアルゴリズムを実装し、複数の初期妥当解からグローバル最適解へ向かって反復的増幅を実行する。
• 限定的なGraver基底要素を用いて並列増幅を実施し、解の品質と計算コストのトレードオフを調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現在のハードウェア制限を考慮しても、量子アニーリングは中規模の整数行列に対してGraver基底を効果的に計算できるか？
• RQ2 限られたD-Waveコールで得られる部分的Graver基底は、非線形整数計画問題においてもグローバル最適解への収束を可能にする程度はどの程度か？
• RQ3 量子ビット数、接続性、結合子の精度といったハードウェア制約が、このハイブリッド量子古典的手法の性能とスケーラビリティにどのように影響するか？
• RQ4 完全な基底計算が不可能な状況でも、複数の初期妥当解と部分的Graver基底の組み合わせにより、高品質または最適解が得られるか？
• RQ5 生の量子アニーリングマシン出力から有効なGraver基底要素に変換するための最も効果的な後処理技術は何か？

主な発見

• 4×4行列（Four Coin Problem）に対して、1回のD-Waveコールで完全なGraver基底が計算可能であり、後処理により全5つの最小要素が回復された。
• 50変数の非線形0-1計画問題において、量子ベースのアプローチが-2.4603の解コストを達成し、古典的手法の最良水準と同等の性能を示した。
• 完全なGraver基底の68％（約2×418要素）を用いても、773個の初期妥当解のうち64個からグローバル最適解に到達した。
• 部分的Graver基底を用いた解の平均コストは-1.6546であり、妥当解チェックのみで得られる平均10.9013よりも顕著に優れていた。
• 結合子の精度の向上に加え、量子ビット数と接続性の向上があれば、この方法が近い将来に古典的ソルバーを上回る可能性があると判明した。
• 適応的センター補正と符号化戦略により、量子ビット効率が顕著に向上し、ハードウェア制限内でより大きな問題を符号化可能になった。