[論文レビュー] GAP Computations Concerning Hamiltonian Cycles in the Generating Graphs of Finite Groups

Thomas Breuer|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2009

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、GAPを用いた計算的証明を通じて、有限群の生成グラフ—特にPSL(2,q)、10^7未満の位数をもつ非アーベル単純群、および特定の非可解群—がハミルトニアン閉路を含むことを提示する。キャラクター理論的下界を用いた頂点次数の評価と、PósaおよびChvátalの基準の検証により、これらの群におけるハミルトニアン性が確認され、有限非巡回群の生成グラフにハミルトニアン閉路が存在するというより広範な予想を支持する。

ABSTRACT

This is a collection of examples showing how the GAP system can be used to compute information about the generating graphs of finite groups. It includes all examples that were needed for the computational results in the paper "Hamiltonian cycles in the generating graphs of finite groups" by Thomas Breuer, Robert M. Guralnick, Andrea Lucchini, Attila Maróti, and Gábor P. Nagy. The purpose of this writeup is twofold. On the one hand, the computations are documented this way. On the other hand, the GAP code shown for the examples can be used as test input for automatic checking of the data and the functions used.

研究の動機と目的

• 有限非巡回群の生成グラフにハミルトニアン閉路が存在することを計算的に検証すること。
• 頂点次数の下界を用いて、PósaおよびChvátalの基準がハミルトニアン閉路に適しているかを検証すること。
• 有限非巡回群が、すべての非自明な正規部分群Nに対してG/Nが巡回群であるとき、その生成グラフがハミルトニアンであるという予想を支持すること。
• 計算結果の再現可能性を確保するため、再現可能なGAPコードとデータを提供すること。
• ハミルトニアン閉路に関する結果を、散発的単純群、それらの自己同型群、およびより大きなqに対するPSL(2,q)に拡張すること。

提案手法

• 共役類および最大部分群に基づくキャラクター理論的手法を用いて、生成グラフの頂点次数を計算する。
• 閉包基準を適用して、グラフの反復的閉包におけるハミルトニアン性の検証に問題を簡略化する。
• PósaおよびChvátalの十分条件を用いる：k < m/2 に対して d_k ≥ k+1 または d_{m−k} ≥ m−k が成り立つかを確認する。
• 置換キャラクター 1_M^G および原始キャラクターの多重集合 Π を用いて、頂点次数の下界を実装する。
• GAP関数を用いて、キャラクター表、原始置換キャラクター、および共役類構造を計算する。
• GAPコードによる自動テストを実施し、互換性のためアサーションを無効化することで結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数が10^7未満のすべての非アーベル単純群の生成グラフにハミルトニアン閉路が存在するか？
• RQ2 すべての素数べき q ≥ 13 に対して、PSL(2,q)の生成グラフにハミルトニアン閉路が存在するか？
• RQ3 有限非巡回群が、すべての非自明な正規部分群Nに対してG/Nが巡回群であるとき、その生成グラフがハミルトニアンであるという予想は、位数≤10^6の非可解群に対しても成り立つか？
• RQ4 完全な列挙を伴わずに、キャラクター理論的下界を用いてハミルトニアン性を効果的に検証できるか？
• RQ5 生成グラフの閉包基準の計算的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 位数が10^7未満のすべての非アーベル単純群について、GAP計算により生成グラフにハミルトニアン閉路が存在することが確認された。
• すべての素数べき q > 11 に対して、PSL(2,q)の生成グラフはPósaの基準を満たし、頂点次数が位数2, 3, 4, 5の要素の数を超える。
• q > 11 のとき、PSL(2,q)の各対合（位数2の元）の頂点次数は、n(q,2) = q^2 - 1（qが偶数の場合）または ≤ q(q+1)/2（qが奇数の場合）を超える。これはPósaの条件を満たす。
• φ((q+1)/k) ≥ 12 が成り立つとき、PSL(2,q)における位数3, 4, 5の元の頂点次数は、位数≤5の要素総数を超える。これはPósaの基準を満たす。
• GAPコードは、qが2から11までのPSL(2,q)について、次数下界が成り立たないにもかかわらず、0次閉包の直接計算によりハミルトニアン性を正当に検証した。
• モンスターグループは、PSL(2,41)に同型な最大部分群の共役類をちょうど1つだけ持ち、PSL(2,27)をソケルとする最大部分群は存在しない。これは、4.2節における先行の下界を改善した。