[論文レビュー] Gauge-invariance in cellular automata

Pablo Arrighi, Giuseppe Di Molfetta+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Quantum many-body systems参考文献 26被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ゲージ不変性およびゲージ同値性を離散的で細胞自動機械（CA）に基づく形式的枠組みとして導入し、古典的および量子CAにおける局所的対称性を強制する段階的ゲージ化手順を提供する。これは、ゲージ不変CAの構築に厳密な枠組みを提供し、ゲージ変換のもとで等価であることを示し、誤り耐性のあるダイナミクスを可能にする。応用分野には量子シミュレーションおよび離散的物理学モデルが含まれる。

ABSTRACT

Gauge-invariance is a fundamental concept in Physics -- known to provide mathematical justification for the fundamental forces. In this paper, we provide discrete counterparts to the main gauge theoretical concepts directly in terms of Cellular Automata. More precisely, the notions of gauge-invariance and gauge-equivalence in Cellular Automata are formalized. A step-by-step gauging procedure to enforce this symmetry upon a given Cellular Automaton is developed, and three examples of gauge-invariant Cellular Automata are examined.

研究の動機と目的

• 連続的場の理論やラグランジアンに依存せずに、細胞自動機械において直接的にゲージ不変性およびゲージ同値性を形式化すること。
• 任意のCAに局所的ゲージ対称性を強制する、離散的で体系的なゲージ化手順を開発すること。
• 具体的な例を通じてゲージ不変CAの構築を示す：古典的CA、一般化された古典的CA、および量子CA（QCA）。
• ゲージ変換の下でのゲージ不変CA間の等価性を特徴づけ、ゲージ固定およびゲージ制約手順を定義すること。
• 誤り訂正および量子シミュレーションとの関係を検討し、特に摂動論的でない量子場の理論に焦点を当てる。

提案手法

• Z^d格子上の分割QCAおよび局所的更新ルールを用いて、古典的および量子細胞自動機械（QCA）を形式化する。
• 内部自由度における局所的、サイト依存の操作としてゲージ変換を定義し、一貫性のある変換則を介してゲージ不変ダイナミクスを導入する。
• ベースとなるCAにゲージ場を導入し、局所的変換に対して不変性を保証する段階的ゲージ化手順を開発する。
• 元のCAの進化とゲージ場の更新を結合する局所的ルールを用い、グローバルなダイナミクスを保ちつつ局所的対称性を強制する。
• 3つの例にこの枠組みを適用する：最小限の古典的CA、より広範なゲージ変換のクラス、およびシュヴィンガー模型を実装するQCA。
• ゲージ変換の下でのCAの同値類を導入し、冗長な自由度を排除するためのゲージ固定を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ不変性は、細胞自動機械のような離散的で空間的に拡張された力学系において、厳密に定義可能だろうか？
• RQ2 与えられた細胞自動機械に局所的ゲージ対称性を強制する、体系的で段階的な手順は存在するだろうか？
• RQ3 異なるCA間のゲージ同値性は、どのように形式的に特徴づけられ、力学的同値性とはどのように区別されるだろうか？
• RQ4 ゲージ不変CAと空間的に分散した系における誤り訂正符号との関係は何か？
• RQ5 この枠組みは、非アーベルゲージ群や高次元空間格子へと拡張可能だろうか？

主な発見

• 本稿は、連続的場の理論や変分原理に依存せずに、細胞自動機械においてゲージ理論の完全な離散的同等物を確立し、ゲージ不変性およびゲージ同値性を形式化した。
• 非ゲージ不変CAをゲージ不変CAに変換する体系的ゲージ化手順を開発し、局所的ゲージ場を導入するとともに、局所的ルールを適切に修正した。
• 3つの具体的な例を構築した：U(1)対称性を持つ最小限の古典的CA、より大きなゲージ群を有する一般化された古典的CA、および量子電磁力学のシュヴィンガー模型を実装する量子CA。
• この枠組みにより、2つのゲージ不変CAがゲージ変換によって関連付けられている場合、それらは物理的に等価であることが証明され、このような同値類の特徴づけが可能になった。
• ゲージ不変CAが、基本的相互作用を離散的かつ内在的にモデル化できることを示し、量子シミュレーションおよび誤り耐性計算への有望な道筋を提供した。
• 結果から、CAにおけるゲージ不変性が、ノイズ耐性の自然なメカニズムである可能性が示唆され、ゲージ変換が誤り訂正操作として解釈できることが示された。