[論文レビュー] Gauge invariant surface holonomy and monopoles

Arthur J. Parzygnat|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、2群と輸送2関手を用いて非アーベルな表面ホロノミーのゲージ不変形式を構築し、特に被覆2群に対して適用する。磁気モノポール物理学にインspiredされた計算可能な表面ホロノミーの公式を提示し、経路順序ホロノミーと非アーベルフラックスを厳密に結びつけ、この枠組みにおいて磁気モノポールがアーベル群を形成することを証明する。

ABSTRACT

There are few known computable examples of non-abelian surface holonomy. In this paper, we give several examples whose structure 2-groups are covering 2-groups and show that the surface holonomies can be computed via a simple formula in terms of paths of 1-dimensional holonomies inspired by earlier work of Chan Hong-Mo and Tsou Sheung Tsun on magnetic monopoles. As a consequence of our work and that of Schreiber and Waldorf, this formula gives a rigorous meaning to non-abelian magnetic flux for magnetic monopoles. In the process, we discuss gauge covariance of surface holonomies for spheres for any 2-group, therefore generalizing the notion of the reduced group introduced by Schreiber and Waldorf. Using these ideas, we also prove that magnetic monopoles have an abelian group structure.

研究の動機と目的

• 磁気モノポールの文脈において、非アーベル表面ホロノミーの厳密で計算可能な枠組みを提供すること。
• 従来の研究で用いられた制限的な商の枠組みを超えて、表面ホロノミーのゲージ不変性を一般化し、α-共役類による最小商を導入すること。
• 物理的な磁束の公式（ホロノミーのループを介して）と、高次ゲージ理論における数学的表面順序積分の直接的な関連を確立すること。
• 提案された表面ホロノミー構造において、磁気モノポールの集合がアーベル群を形成することを証明すること。
• 輸送関手形式を2関手へと拡張し、薄いホモトピーに関する球面上のホロノミーを計算する際のその有用性を示すこと。

提案手法

• 2群値の輸送2関手を用いて、接続付きの高次主バンドルをモデル化し、1関手のアプローチを一般化する。
• 表面ホロノミーのゲージ不変性を保証するため、2群のH成分における新しい商構成（α-共役類）を導入する。
• 2関手の局所的自明化手順を適用し、反復的経路順序指数関数の形で表面ホロノミーの明示的計算を可能にする。
• 微分コycleデータと再構成2関手を用いて、多様体上の局所データをグローバルな表面ホロノミーへと持ち上げる。
• 輸送関手から曲率2関手を導出し、曲率2形式と表面順序積分の間の関連を確立する。
• 被覆2群（例：SU(n)/Z(n), SO(3)）の2群構造を用いて、球面上のホロノミーの明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル2群、特に球面上において、表面ホロノミーをどのようにゲージ不変に定義できるか？
• RQ2 表面順序積分とホロノミーの観点から、非アーベル磁束の正確な数学的定式化は何か？
• RQ3 Chan Hong-MoとTsouの磁束公式は、高次ゲージ理論の形式とどのように関係するか？
• RQ4 球面をビゴンに分解することなく、球面のホロノミーを定義することは可能か？そのターゲットは何か？
• RQ5 表面ホロノミー作用に関して、磁気モノポールの集合は閉じているか？また、アーベル群を形成するか？

主な発見

• 本論文は、α-共役類を用いたゲージ不変な表面ホロノミーを球面上に構築し、SchreiberとWaldorfが用いた商へ上への射影を実現する最小商を提供する。
• 被覆2群（例：SU(n)/Z(n), SO(3)）に対しては、1形式の経路順序指数関数の形で単純なホロノミーの公式が得られ、[ScWa11]における表面順序積分と一致する。
• α-共役類値の球面の表面ホロノミーは、ゲージ変換に対して不変であり、通常のホロノミーにおける共役類の概念を一般化する。
• 経路順序積分の公式による磁束の計算結果は、場強度の表面積分として定義される標準的な物理的磁束定義と一致する。
• 球面上の表面ホロノミーによって定義される磁気モノポールは、2群構造によって誘導される演算に関してアーベル群を形成する。
• 経路-曲率2関手の構成により、微分形式データ（曲率2形式）と表面順序積分との間の直接的な関連が確立され、物理的文脈での形式の妥当性が裏付けられる。