[論文レビュー] Gauge-natural field theories and Noether Theorems: canonical covariant conserved currents

Marcella Palese, Ekkehart Winterroth|ArXiv.org|Dec 7, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反復Lie微分とKol\'a\v{r}の不変分解を用いて、$ L^{js}_{\bar{\Xi}_H} \omega(\lambda, K) = 0 $ の自然性を証明することにより、ゲージ・ノンターナル場理論における保存電流の標準的かつ共変な導出を確立する。主な貢献は、接続に依存しないグローバルなスーパーポテンシャルの存在であり、これにより共変なベルグマン＝ビアンキ恒等式と一般化されたエネルギー運動量テンソル密度が保証される。

ABSTRACT

Recently we found that canonical gauge-natural superpotentials are obtained as global sections of the {\em reduced} $(n-2)$-degree and $(2s-1)$-order quotient sheaf on the fibered manifold $\bY_{\zet} imes_{\bX} \mathfrak{K}$, where $\mathfrak{K}$ is an appropriate subbundle of the vector bundle of (prolongations of) infinitesimal right-invariant automorphisms $\barΞ$. In this paper, we provide an alternative proof of the fact that the naturality property $\cL_{j_{s}\barΞ_{H}}ω(λ, \mathfrak{K})=0$ holds true for the {\em new} Lagrangian $ω(λ, \mathfrak{K})$ obtained contracting the Euler--Lagrange form of the original Lagrangian with $\barΞ_{V}\in \mathfrak{K}$. We use as fundamental tools an invariant decomposition formula of vertical morphisms due to Kolář and the theory of iterated Lie derivatives of sections of fibered bundles. As a consequence, we recover the existence of a canonical generalized energy--momentum conserved tensor density associated with $ω(λ, \mathfrak{K})$.

研究の動機と目的

• ゲージ・ノンターナル場理論における保存電流の構成におけるグローバル性の問題を解決すること。
• ノネル電流のための接続に依存しない標準的導出を確立すること。
• 水平Lie微分の下で修正ラグランジアン $ \omega(\lambda, K) $ の自然性を証明すること。
• 第一ノネル定理を用いて一般化されたエネルギー運動量テンソル密度を回復すること。

提案手法

• 有限次元変分系列における変分Lie微分と商型写像を用いる。
• 垂直型写像のためのKol\'a\v{r}の不変分解公式を適用する。
• ファイバーバンドルの切断の反復Lie微分を用いて対称性の性質を分析する。
• 修正ラグランジアン $ \omega(\lambda, K) $ を、Euler–Lagrange形式と $ \bar{\Xi}_V \in K $ の縮約として定義する。
• 水平分解を用いて、保存則 $ DH(-j^s\mathcal{L}_{\bar{\Xi}_V} \rfloor p^{DV} \omega(\lambda,K)) = 0 $ を導出する。
• 変分系列の完全性を用いてスーパーポテンシャルのグローバル存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ・ノンターナル場理論における保存電流は、どのようにしてグローバルかつ共変的に一貫して導出可能か？
• RQ2 第二ノネル定理は、一般化された対称性と保存量を生成する役割を果たすか？
• RQ3 事前に接続を固定しないで、保存電流のための標準的スーパーポテンシャルを構成可能か？
• RQ4 修正ラグランジアン $ \omega(\lambda, K) $ が、自然性条件 $ L^{js}_{\bar{\Xi}_H} \omega(\lambda, K) = 0 $ を満たすのはどのような条件下か？
• RQ5 変分系列と反復Lie微分の構造から、一般化されたベルグマン＝ビアンキ恒等式はどのようにして生じるか？

主な発見

• 修正ラグランジアン $ \omega(\lambda, K) $ に対して自然性条件 $ L^{js}_{\bar{\Xi}_H} \omega(\lambda, K) = 0 $ が成立し、水平対称性の下での不変性が保証される。
• 接続に依存しないグローバルな層写像 $ \nu(\lambda, K) \in \mathcal{V}^{n-2}_{2s-1}(Y^\zeta \times_X K) $ の存在が確立され、これによりスーパーポテンシャルが得られる。
• 保存則 $ DH(-j^s\mathcal{L}_{\bar{\Xi}_V} \rfloor p^{DV} \omega(\lambda,K)) = 0 $ が導出され、電流の共変保存が確認される。
• 一般化されたエネルギー運動量テンソル密度 $ \epsilon(\lambda, K) - \tilde{\epsilon}(\lambda, K) $ が「強い」保存則によりグローバルに保存されることを示した。
• 理論により $ \omega(\lambda, K) $ がゲージ・ノンターナル不変であることが保証され、元のラグランジアン $ \lambda $ の不変性が拡張される。
• 事前に主接続を固定しないことで、グローバルなスーパーポテンシャルを持つ真正に共変な場理論が可能になる。