[論文レビュー] Gauge theory and mirror symmetry

Constantin Teleman|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群のカテゴライズされた表現理論を通じて、2次元ゲージ理論とミラー対称性の間に深い対応を確立し、群Gに対する純粋な3次元トポロジカルゲージ理論が、そのラングランズ双対G∨のBFM空間上のロザンスキー＝ウィットン理論に等価であることを示している。主な結果は、旗多様体のリエツヒュ・ミラーを、複素シンプレクティック多様体内のラグランジュ対応から生じる行列因子化カテゴリとして幾何的に実現することである。

ABSTRACT

Outlined in this paper is a description of \emph{equivariance} in the world of 2-dimensional extended topological quantum field theories, under a topological action of compactLie groups. In physics language, I am gauging the theories --- coupling them to a principal bundle on the surface world-sheet. I describe the data needed to gauge the theory, as well as the computation of the gauged theory, the result of integrating over all bundles. The relevant theories are A-models, such as arise from the Gromov-Witten theory of a symplectic manifold with Hamiltonian group action, and the mathematical description starts with a group action on the generating category (the Fukaya category, in this example) which is factored through the topology of the group. Their mirror description involves holomorphic symplectic manifolds and Lagrangians related to the Langlands dual group. An application recovers the complex mirrors of flag varieties proposed by Rietsch.

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群の作用の下での2次元拡張トポロジカル量子場理論（TQFT）のゲージ化を扱う枠組みを構築し、同調的コホロロジーをカテゴライズ化された設定に拡張すること。
• ホロモルフィックシンプレクティック幾何とラングランズ双対性が旗多様体のミラー対称性（特にAモデルとグロモフ＝ウィトテン理論の文脈）において果たす役割を明確化すること。
• トポロジカル表現の特性理論の幾何的・カテゴリー的解釈を提供し、特徴関数をラングランズ双対群のBFM空間上の連続層に置き換えること。
• 3次元トポロジカルゲージ理論における境界条件と複素シンプレクティック多様体内のラグランジュ部分多様体との間の明確な対応を、ロザンスキー＝ウィットン理論の枠組みを用いて確立すること。
• リエツヒュが提案した旗多様体の複素ミラーを、複素シンプレクティック幾何におけるラグランジュ対応と行列因子化を用いて幾何的に再構築すること。

提案手法

• 世界面における主 bundle に結合することで、2次元TQFTをコンパクトなリー群Gの作用でゲージ化する。具体的には、ハミルトニアンG作用を伴うシンプレクティック多様体のフュカヤカテゴリなどの生成カテゴリへの群Gの作用を利用する。
• ラングランズ双対群G∨のBFM空間（Bezrukavnikov-Finkelstein-Mirković）を、ミラー記述の幾何的舞台として用いる。これは、G∨ℂにおける共轭類空間の余接 bundle と関連する複素シンプレクティック多様体である。
• 複素シンプレクティック多様体Xのロザンスキー＝ウィットン理論を、群Gに対する純粋な3次元トポロジカルゲージ理論の双対として用い、境界条件は正則ラグランジュ部分多様体またはカテゴリの層として対応付ける。
• 旗多様体G/Lのミラーを、T∗regG∨ℂ内のラグランジュ対応を用いて構成する。ミラーは行列因子化カテゴリMF(B∨+ ∩ M; f − ξ∘log)として実現され、fとξ∘logは旗多様体の稠密な開部分集合上で定義される。
• リーマン部分群からのシンプレクティック誘導を用いて、Gの誘導表現カテゴリと旗多様体のフュカヤカテゴリの双対性を確立する。これはボレル＝ヴァイル構成に類似している。
• ラグランジュ葉SξとΛ(q)上の半体積形式を用いて、ホッフシュィルドホモロジーへのトレースを定義し、その積としての不変半体積がリエツヒュのミラー上の体積形式と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群が有限群ではなくコンパクトなリー群である場合、2次元拡張TQFTにおける不変性の概念をどのように形式化できるか？
• RQ2 コンパクトなリー群Gに対する3次元トポロジカルゲージ理論の正確な幾何的双対は何か？ そしてそれはロザンスキー＝ウィットン理論とどのように関係するか？
• RQ3 ラングランヅ双対群G∨のBFM空間の複素シンプレクティック幾何におけるラグランジュ対応から、旗多様体G/Lのミラー対称性はどのように生じるか？
• RQ4 トポロジカル表現の文脈における特性理論のカテゴリー的類似物は何か？ そしてそれはBFM空間上の連続層とどのように関係するか？
• RQ5 ラグランジュ葉SξとΛ(q)上の半体積形式がどのように組み合わさってリエツヒュのミラー上の体積形式を再現するか？ そしてこれはホッフシュィルドホモロジーへのトレース構造においてどのような意味を持つのか？

主な発見

• コンパクトなリー群Gに対する純粋な3次元トポロジカルゲージ理論は、そのラングランヅ双対群G∨のBFM空間上のロザンスキー＝ウィットン理論に等価であり、物理的かつ幾何的双対性を提供する。
• 旗多様体G/Lのミラーは、幾何的に行列因子化カテゴリMF(B∨+ ∩ M; f − ξ∘log)として実現される。ここでM ≅ (N∨ × N∨)/diag(N∨ ∩ L∨ℂ)であり、fはユニポテンツ要素の対数を用いて定義される関数である。
• ミラー幾何におけるラグランジュSξとΛ(q)のペアリングは、ミラーカテゴリのホッフシュィルドホモロジーを計算し、そのトレース構造は2つの葉上の不変半体積の積から生じる。
• G∨のBFM空間は、トポロジカルG表現の特性理論の自然な幾何的対象であり、単純表現はこの空間を敷きつぶす連続層に対応する。
• 本構成はボレル＝ヴァイル定理をカテゴライズ化された設定に一般化し、非可約表現が旗多様体のフュカヤカテゴリとして実現され、「L2誘導」がストリングトポロジーカテゴリに対応する。
• B∨+ ∩ Mの交差の横断性により、シフトされた余接バンドル間のホモトピー空間が行列因子化カテゴリに同型であることが保証され、ミラー対応が正当化される。