[論文レビュー] Gaussian Noise Sensitivity and BosonSampling

Gil Kalai, Guy Kindler|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用数 37

ひとこと要約

この論文は、ボソンサンプリングの根幹をなすランダムなガウス行列の二乗永久置換のノイズ感度を調査する。ノイズレベルが $\omega(1/n)$ を超えると、ノイズありとノイズなしの結果の相関は0に近づくことが示され、ノイズのあるボソンサンプリングは古典的かつ効率的にシミュレート可能であることが示唆され、誤り耐性のない状態で量子優位性を示すことは困難であるとされる。

ABSTRACT

We study the sensitivity to noise of |permanent(X)|^2 for random real and complex n x n Gaussian matrices X, and show that asymptotically the correlation between the noisy and noiseless outcomes tends to zero when the noise level is ω(1)/n. This suggests that, under certain reasonable noise models, the probability distributions produced by noisy BosonSampling are very sensitive to noise. We also show that when the amount of noise is constant the noisy value of |permanent(X)|^2 can be approximated efficiently on a classical computer. These results seem to weaken the possibility of demonstrating quantum-speedup via BosonSampling without quantum fault-tolerance.

研究の動機と目的

• ランダムな $n \times n$ 行列における $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ のガウスノイズに対する感度を調査すること。
• 現実的なノイズモデル下で、ノイズのあるボソンサンプリングが古典的コンピュータにとって計算的に困難なままであるかどうかを評価すること。
• ノイズが理想出力と相関を持たなくする閾値を特定することにより、量子優位性の根拠を揺るがすこと。
• ノイズのあるボソンサンプリングが低深さの古典的回路によって近似可能かどうかを検討し、古典的シミュレーション可能性を示すこと。
• 一般の多項式や他の行列集合（例えばベルヌーイ行列）へと洞察を拡張し、より広範な適用可能性を検討すること。

提案手法

• ノイズモデル $Y = \sqrt{1-\epsilon}X + \sqrt{\epsilon}U$ を用い、$U$ を独立なガウス行列とする。ここで $\epsilon$ をノイズレベルとする。
• 実数および複素数の場合のフーリエ＝エアミート展開と直交関数展開を用い、$|\mathsf{permanent}(X)|^2$ におけるノイズ作用素の作用を分析する。
• エルミート展開における各次数の $L^2$ ノルム分布を計算し、実数の場合には次数 $2k$ の係数が $(k+1)(n!)^2$、複素数の場合には $(n!)^2$ を寄与することが示される。
• 明示的な相関バウンドを導出：$\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{(1-(1-\epsilon)^n)(2-\epsilon)}{\epsilon n(1+(1-\epsilon)^n)}}$ であり、$\epsilon = \omega(1/n)$ のときこの値は0に近づく。
• 定数 $\epsilon > 0$ の場合、ノイズあり出力は低次の多項式と定数深さ回路によって近似可能であることを示す。
• 正規化項 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ および繰り返し列を含む永久置換の分析を拡張し、$m \ll n$ の状況に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズレベル $\epsilon$ の関数として、理想出力とノイズあり出力の $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 間の相関はどのように変化するか？
• RQ2 理想出力とノイズありボソンサンプリング出力の間の相関が0に減少するのはどのノイズレベルか？
• RQ3 ノイズが定数または $\omega(1/n)$ を超える場合、ノイズのあるボソンサンプリングは古典的コンピュータで効率的にシミュレート可能か？
• RQ4 ノイズ感度が近似的なボソンサンプリングの計算的困難性をどの程度損なうか。量子優位性の主張にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ベルヌーイ行列などの他の行列集合、あるいは永久置換を超える多項式へと結果をどのように拡張できるか？

主な発見

• $\epsilon = \omega(1/n)$ の場合、$|\mathsf{permanent}(X)|^2$ とそのノイズありバージョンの間の相関は0に近づき、理想出力との相関が失われる。
• 定数 $\epsilon > 0$ の場合、ノイズあり $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ は $d \gg 1/\epsilon$ の次数の多項式で近似可能であり、その近似は多項式時間で計算可能である。
• ノイズあり出力は定数誤差内で定数深さ回路によって近似可能であり、ノイズのあるボソンサンプリングが $\mathbf{P}$ に属することを示唆する。
• 複素数の場合の明示的相関式は、$\epsilon = c/n$ のとき $\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{2(1-e^{-c})}{c(1+e^{-c})}}$ となり、$c \to \infty$ のとき0に近づく。
• 正規化項 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ も同様のノイズ感度を示し、ボソンサンプリング分布全体に広がる影響を示唆する。
• 現実的なノイズモデルがボソンサンプリングを古典的シミュレーション可能にし、誤り耐性のない状態での量子優位性の主張を弱める可能性がある。